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Allora, qui su ho incollato una parte del problema 2 di Senigallia 2011 al quale farò riferimento.
Il mio approccio al punto secondo è stato il seguente. L'energia potenziale di una coppia di protoni è data da . Considero la distanza media tra due protoni all'interno della sfera (nucleo). Per un noto risultato (vedi ad esempio qui) , quindi il lavoro da svolgere per trasportare ogni carica dall'infinito alla sua posizione è .
Il risultato riportato nelle soluzioni ufficiali è . Dunque, mi chiedo: il mio risultato è un'approssimazione peggiore/migliore? o è completamente sbagliato?

Nel testo si dice chiaramente di considerare il nucleo come una sfera di densità uniforme; tu invece consideri l'interazione tra i singoli protoni e quindi una distribuzione di carica non uniforme. A naso direi che il tuo metodo è più corretto dal punto di vista fisico perché i protoni non perdono completamente la loro individualità dentro al nucleo, ma quello che succede lì dentro è molto complicato per cui non ci metterei la mano sul fuoco.

Comunque, per usare il tuo metodo, servirebbe la media dell'inverso della distanza che non è uguale . Ad esempio, la media tra 2 e 4 è , e la media tra e è che non è uguale a .

Mi autocorreggo ora che ho visto il link da cui tiri fuori quel : quel numero è ricavato assumendo che i nucleoni occupino punti scelti casualmente all'interno del nucleo! Secondo me questa è non è una buona approssimazione; i nucleoni non si potranno compenetrare completamente e la distanza media tra di loro sarà più grande di quel che viene da quel conto. Inoltre, la distanza media dipende dal numero di particelle e non ho capito perché hai preso il caso con 3 particelle (corrispondente a nel notebook di Mathematica che hai linkato).


Un modello che tenga conto della posizione dei nucleoni nel nucleo potrebbe portare ad una approssimazione migliore di quello con carica uniformemente distribuita, ma dovrebbe essere significativamente più elaborato di così. Per discutere la distribuzione dei nucleoni dentro al nucleo non si può fare a meno della meccanica quantistica usata a livello alto; non sarebbe stato possibile proporre un problema di quel tipo per le Olimpiadi.

Non ho preso in considerazione il caso con 3 particelle: il pedice di si riferisce alle dimensioni in cui viene considerata la palla (sfera), in questo caso una 3-palla appunto.
Comunque sì, è vero che ho considerato i protoni scelti a caso all'interno del nucleo, e anche che avrei dovuto considerare la media degli inversi. Ma è anche vero che la distanza media effettiva degli inversi è minore della distanza media degli inversi nel modello di sopra (per il motivo che tu hai detto) e che la media da me considerata è minore della media degli inversi (volendo per la disuguaglianza fra media armonica e aritmetica). Quindi le due cose un po' si compensano... ma queste sono parole al vento!
(i miei tentativi di pensare come un fisico sono sempre fallaci )

Sì hai ragione, è chiaro che se li metti a caso in modo indipendente l'uno dall'altro la distanza media non dipende da quanti sono.

Il fatto che non si compenetrano secondo me è parecchio importante e potrebbe cambiare il risultato in modo notevole. Forse pensando a due nuclei speculari di cui si sa la differenza di energia di legame si riesce a dire qualcosa sulla distanza tipica dei nucleoni (non sono sicuro si possa fare davvero, è solo un'idea).

Per descrivere meglio queste cose comunque non si puó prescindere da cose di fisica molto avanzate, il modellino presentato lì per i nuclei speculari è un miracolo che funzioni così bene.