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Il problema che vorrei proporre è un classico:

un corpo di massa che viaggia a velocità urta un corpo di massa inizialmente fermo. Supponendo che l'urto non sia frontale, trovare il massimo angolo di deviazione del corpo di massa .

Ho provato a risolverlo con il teorema di Carnot per le quantità di moto in gioco, ma la formula finale che trovo è abbastanza lunga e francamente non penso che sia corretta.

Che metodo di risoluzione mi proponete?

In effetti ho provato a risolverlo in modo classico (conservazione della quantità di moto e dell'energia cinetica sui due assi), ma viene anche a me una formula finale abbastanza lunga e improbabile. Credo che ciò sia avvenuto a causa di un'errata scelta o meglio, meno conveniente, del sistema di riferimento. Infatti ho provato a fissare il sistema di riferimento rispetto al centro di massa dei due corpi, ipotizzando possibile ogni angolo di deviazione. Ho scomposto il vettore velocità nelle sue componenti nel sistema rispetto al centro di massa e ho usato tali formule per sfruttarle nel sistema di partenza (quello in cui mi veniva il risultato improbabile).
Ho supposto l'angolo di deviazione rispetto al sistema di partenza:



Adesso calcolando il massimo della suddetta funzione si dovrebbe ottenere il risultato voluto.

Per calcolare il massimo di quella funzione si devono usare le derivate?

Preferirei non usarle perchè ho ancora poca dimestichezza.

Il metodo che ho usato io non fa uso di derivate, ma la soluzione dovrebbe essere solo in funzione delle masse, mentre a me rimangono anche le velocità...

Sì, in effetti dovresti usare le derivate per trovare il massimo della funzione.
Se :



Credo che questo sia il risultato voluto. Devo ammettere che per svolgere i calcoli - dopo aver derivato la funzione ed averla posta uguale a zero - ho dovuto usare le tavole con le derivate di alcune funzioni trigonometriche (non sono ancora capace di padroneggiare il calcolo con le derivate)

Eagle ha scritto:Credo che ciò sia avvenuto a causa di un'errata scelta o meglio, meno conveniente, del sistema di riferimento. Infatti ho provato a fissare il sistema di riferimento rispetto al centro di massa dei due corpi [...]

!
La scelta non è errata, anzi, questo metodo è quello che rende il problema meno contoso. Si può fare anche il conto nel sistema di riferimento del laboratorio, e si arriva in fondo, ma viene significativamente più lungo.

egl ha scritto:Il problema che vorrei proporre è un classico

A meno di possibilissimi abbagli è un sns di due anni fa!

Ok, dopo un bel po' di tempo e di conti dovrei essere riuscito a trovare una soluzione a questo problema senza lavorare nel sistema di riferimento del centro di massa.

Sia la massa che, viaggiando a velocità , urta un'altra massa ferma; l'urto non è frontale. Dopo l'urto viaggia a velocità con un angolo rispetto all'orizzontale, viaggia a velocità con rispetto all'orizzontale. Per semplicità pongo . Urto elastico, ecc...

Per la conservazione della quantità di moto (su x e y):
e poi
Per la conservazione dell'energia cinetica:.

Ricavo dalla (2), mi calcolo e lo metto nella (1). Ora lo sostituisco nella (3) e dopo parecchi conti si arriva a

. Quindi ho : derivo rispetto a . Voglio trovare infatti l' massimo, per cui derivando e ponendo uguale a zero, si trova il minimo (se si annulla la derivata di quella funzione, si ha un minimo poichè la derivata seconda , essendo è positiva, anche se su questo passaggio non sono sicurissimo).

Avrò (ponendo uguale a zero) . Se sostituisco questo valore nella funzione avrò alla fine

. Ma allora se elevo al quadrato