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Una pallina sferica di raggio si muove su un piano orizzontale privo di attrito, essendo legata con una corda inestensibile e priva di massa ad un piolo verticale, a forma di cilindro con raggio , intorno al quale si avvolge il filo. Essa ha velocità iniziale pari a . Si sperimenta questa situazione usando palline di uguale raggio ma con densità diversa, scoprendo che con una pallina di massa , il filo si spezza prima che la pallina colpisca il cilindro intorno a cui ruota.
a)Man mano che il filo si avvolga la lunghezza l del filo ancora da avvolgere diminuisce nel tempo. Calcolare la lunghezza minima di filo che non è avvolto nel momento in cui la pallina impatta sulla superficie laterale del cilindro.
b) Il filo usato può essere adoperato per sostenere un peso di ?
c) Per una pallina leggera, tale da non far rompere il filo, dopo quanto tempo avviene l'urto della pallina sul piolo, se inizialmente la lunghezza del filo è ?
Hint: si provi a scrivere la dipendenza dal tempo dell'area di cerchio di raggio .

I risultati postati in precedenza, essendo errati e mancanti di giustificazione, sono stati sostituiti nel messaggio successivo partendo dal punto a.

P.S: ringrazio Sturdust per gli hint e soprattutto per il disegno postato che spero mi abbia chiarito le idee - grazie ancora!

Mi spiace ma i tuoi risultati non coincidono con quelli ufficiali.
Potresti postare anche i ragionamenti e i passaggi intermedi, so che è abbastanza lungo, ma è meglio per chi cerca di seguire la discussione, oltre ad essere un allenamento molto utile per il ...
Sul punto a) bastano considerazioni geometriche (sotto ho messo l'immagine della situazione all'impatto della pallina contro il cilindro, vista dall'alto).
Per il b) ho anche io dei dubbi: se la pallina si avvicina all'asse di rotazione (a proposito, quale è?), non dovrebbe incrementare la sua velocità per la conservazione della quantità di moto angolare?

Ti chiedo scusa perché rifacendo i calcoli .
In effetti, il punto potrebbe essere assimilato ad un problema di geometria analitica, piantando l'origine nel centro della circonferenza di raggio . Mandando la tangente dal punto a trovo il punto di tangenza e la distanza da . Tale distanza va sottratta della quantità .
Giusto?

Più che geometria analitica, questa è la vecchia (e non sempre amata) euclidea...
Teorema di Pitagora:
.

Il calcolo del punto A è giusto: usi il teorema di pitagora e trovi (a me vengono 8 precisi, non capisco quel ,02 di Eagle).

Per il punto B, il momento angolare si conserva prendendo come sistema di riferimento quello inerziale e come polo il punto di tangenza tra la corda e il cilindro (infatti la forza sulla pallina è in ogni momento diretta lungo la corda, quindi non esercita alcun momento meccanico sulla pallina).
Ponendo e (il moto è in ogni momento circolare uniforme attorno al punto di contatto corda-cilindro) e sostituendo si ottiene
. Il fatto che dipendesse da L ce lo aspettavamo, quindi dipende anche dalla lunghezza del filo iniziale. Senza tale dato, non si può dare una risposta al problema. Suppongo quindi come nel punto C, e ottengo che la forza centripeta massima che il filo può sopportare (che è nel punto in cui è minimo cioè in è
, la risposta è quindi SI'.

Il punto C non riesco a farlo... e non vedo a cosa serva il suggerimento: in fin dei conti, per sapere come cambia l'area di quel cerchio devi sapere come varia l nel tempo... ma a quel punto non ci sarebbe neanche bisogno di trovare l'area

Sul punto c applicando un metodo poco ortodosso ed una proporzione, ipotizzando che al momento di partenza sia sulla stessa retta di , il tempo a me viene approssimando per difetto .
Chiedo a Sturdust se il risultato è corretto.

@ Gauss91:
Normalmente io ho sempre usato come riferimento per il calcolo del momento angolare L un punto/asse fisso. Tu invece scegli il punto di attacco tra la circonferenza e il segmento, ma niente ci assicura che esso stia fermo. Potrebbe benissimo essere persino accelerato, e non solo in semplice rotazione, e credo che proprio questo invalidi l'uso della conservazione di L. Forse si potrebbe fare questo ragionamento con l'asse di simmetria del cilindro verticale, ma bisognerebbe trovare una legge che descriva il comportamento della lunghezza l ancora tesa e il movimento della pallina...
Alla fine nella soluzione ufficiale si fa conto che la velocità non cambi ma resti sempre , a causa del fatto che in assenza di forze esterne sul corpo agisce sempre T, che è perpendicolare alla traiettoria e non può quindi modificare la velocità (tangenziale). Detta così, la cosa è comprensibile, ma comunque lascia abbastanza perplessi. Si è portati solitamente ad usare L un po' dappertutto, ma in questo caso non serve.
@ Eagle:
Se spieghi meglio il tuo procedimento "poco ortodosso" si può anche capire cos'è che non va...
Comunque il ragionamento da fare qui è un po' astruso.
Hint: in un tempo quanto filo è avvolto intorno al cilindro?

Stardust ha scritto:Alla fine nella soluzione ufficiale si fa conto che la velocità non cambi

Ci ho pensato, ma l'ho ritenuto falso (se è nella soluzione ufficiale significa che è vero, ma si dovrebbe dimostrare). Che io sappia il momento angolare, rispetto ad un polo P, di un corpo di massa M in un certo sistema di riferimento si conserva se non c'è nessun momento, rispetto al polo P, che agisce sul corpo M. Poi uno più esperto potrebbe chiarirmi meglio le idee.
Comunque, a posteriori, mi sembra effettivamente ragionevole che sia costante. In fin dei conti, se in un moto circolare la forza centripeta resta sempre sulla direttrice massa-centro, ma varia in intensità, il moto sarà una spirale ma è "ragionevole" (poi si dovrebbe dimostrare) che il modulo della velocità tangenziale rimanga costante.

Sapendo questo, il resto del problema diventa quasi banale.