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Una grande stazione spaziale ha la forma di un cilindro di raggio R=100m. Allo scopo di creare al suo interno una forza di gravità artificiale, il cilindro viene fatto ruotare attorno al suo asse con velocità angolare ω, rispetto ad un sistema di riferimento inerziale S. L'asse di rotazione è fisso in S.
1. Determinare ω in modo che la forza di gravità artificiale creata sulla superficie laterale del cilindro sia uguale a quella che si ha sulla Terra.
2. Sia h la quota di un generico punto dentro al cilindro, misurata rispetto alla superficie laterale. Calcolare l'accelerazione di gravità g(h/R) e rappresentarla in un grafico, insieme con l'analoga quantità gt(h/R) relativa alla Terra, dove in questo caso h è la quota del punto rispetto alla superficie terrestre e R il raggio terrestre.
3. Un oggetto, tenuto alla quota h da un astronauta, viene lasciato cadere. Descrivere il moto dell'oggetto nel riferimento S e nel riferimento dell'astronauta A. Determinare il tempo Tc necessario affinché l'oggetto raggiunga il pavimento e la posizione del punto di caduta.
4. L'oggetto viene quindi lanciato da un punto del pavimento e si vuole che ritorni nello stesso punto in un tempo assegnato Tr:
- Vi sono dei limiti al tempo Tr?
- Supposto Tr=5s, con quale velocità nel riferimento A e in che direzione rispetto alla "verticale" locale deve essere lanciato?

Proviamoci.

1)

2) Ponendo dovremmo avere e .

3) Questo l'ho trovato un pò più problematico e vorrei qualche consiglio da voi.
Sono partito dal presupposto che il corpo subito dopo il rilascio non può più avvertire la forza centrifuga perché quest'ultima è una forza di contatto. Nel sistema inerziale S perciò il corpo si muoverà lungo la tangente al punto di rilascio con moto rettilineo uniforme, mentre nel sistema A sembrerà deviata da una forza apparente, la forza di Coriolis.
Svolgendo i calcoli, nel sistema di riferimento inerziale per semplificarli, otteniamo che il tempo di caduta è . La posizione la possiamo desumere sempre dal sistema di riferimento A: mentre infatti il corpo "cade" l'astronave continua a ruotare percui lo spostamento "apparente" dalla verticale radiale al momento di rilascio è .

Per il momento ritengo inutile affrontare il punto 4 se le premesse che ho usato per il 3 non sono valide, quindi... ditemi dove ho sbagliato

Non ho verificato i conti ma le assunzioni che hai fatto sono corrette, perciò avanti col prossimo punto.

4) Ipotizzando che l'oggetto venga lanciato con velocità dal pavimento e con un'inclinazione rispetto al diametro passante per il punto di lancio possiamo calcolare la lunghezza della corda tra punto di partenza e punto di arrivo (coincidenti nel sistema A ma diversi nel sistema S). Risulta . Il tempo di volo sarà quindi [1].
Tuttavia tenendo conto che nel frattempo, per far sì che l'oggetto ricaschi dove è stato lanciato, la nave deve ruotare di rad, con k naturale a scelta; i valori accettabili del tempo di volo sono solo della forma [2].
Ponendo la [1] uguale a 5 secondi, risolvendo per e sostituendo nella [2] dovrebbero uscire infinite velocità per infiniti angoli possibili.
Richiedo lumi ancora una volta.

P.S.: ma c'è un modo per far apparire un pò meglio le frazioni, come ad esempio la [2]? Mi sembrano troppo... goffe e schiacciate

EDIT: simplificazioni delle formule

Ratio ha scritto:P.S.: ma c'è un modo per far apparire un pò meglio le frazioni, come ad esempio la [2]? Mi sembrano troppo... goffe e schiacciate

Ippo ha scritto:

Ratio ha scritto:P.S.: ma c'è un modo per far apparire un pò meglio le frazioni, come ad esempio la [2]? Mi sembrano troppo... goffe e schiacciate

Codice: Seleziona tutto

[tex] \displaystyle[/tex]

o `\dfrac' al posto di `\frac' (la `d' sta per `displaystyle')

Grazie ad entrambi

E qui termino il mio off-topic...