Forum OLIFIS

Questo problema è stato oggetto di diverse discussioni a Senigallia, ma sono rimasti diversi aspetti insoluti, per cui mi sembra il caso di proporlo nel forum per proseguire il confronto.

Si consideri un oggetto di massa , assimilabile ad un corpo puntiforme, che ha una velocità iniziale nulla ed è posto ad una distanza dal centro della Terra.
Se l'oggetto è a grande distanza dalla Terra di raggio e il baricentro del sistema conicide praticamente con quello dell Terra, si trovi la legge oraria che descrive il suo moto verso il pianeta.

Hint: evitare un'approccio cinematico-dinamico, sembra complichi i ragionamenti che già da soli non sono affatto banali.
Personalmente io ho ho ragionato sull'energia, senza però ottenere una soluzione efficace.

Il testo originale diceva più o meno così: il dio Thor ( ) lancia il suo martello dal cielo dove si trova verso la terra. il martello impiega una settimana per arrivare sulla terra. quanto è alto il cielo?
questo cambia un pò le cose perchè si può applicare un trucchetto per trovare l'altezza del cielo anche senza la legge oraria

Oddio...
Io so che è un risultato noto l'inverso della legge oraria... ciò che non consola è che essa è

.

Quindi la legge oraria è sicuramente... l'inverso di questa funzione!

EDIT: come detto da Rigel è nettamente più facile: c'è il barbatrucco della conica degenere...

Perfetto, Gauss91. Prova ora ad ottenere x in funzione di t...
Io pensavo di affidare l'ingrato compito a Derive (sempre che sia in grado di farlo, non ne sono sicuro).

La variante con il dio Thor prevede invece una velocità iniziale non nulla per l'oggetto in caduta (presumibilmente sarà stato scagliato in un momento di rabbia, sappiamo quanto fossero permalose certe divinità nordiche ), ma non ci ho provato in questo modo. Vedo che cosa riesco a combinare...

Stardust ha scritto:Perfetto, Gauss91. Prova ora ad ottenere x in funzione di t...

Il mio post era per suggerire che una legge oraria è fuori discussione...
Per il resto, è chiaro che la velocità iniziale si suppone nulla altrimenti a seconda della velocità iniziale impiegherebbe un tempo diverso per arrivare a terra... ma la velocità iniziale non è data quindi penso che gli autori volessero intepretare "velocità iniziale nulla".

Per trovare l'altezza in questo caso, è buono considerare la traiettoria rettilinea del martello come un'ellisse degenere, in questo modo applichi la terza legge di Keplero e...

Il mio intervento non voleva essere caustico, volevo solo invitarti a tentare di esprimere x in funzione di t: forse non ho scelto le parole più adatte.
Comunque ho appena provato a risolvere l'equazione in x in Derive.
Risultato:
per 20 minuti la CPU del mio pc ha lavorato al 100% della sua potenza di calcolo per svolgere appena il 4% dei calcoli necessari all'operazione.
Se qualcuno ha accesso a computer più potenti o ha del software migliore potrebbe provare ad eseguire questa conversione da a ?

@ Gauss91: Ma con l'ellisse degenere ha senso calcolare il periodo T di rotazione?

Stardust ha scritto:Ma con l'ellisse degenere ha senso calcolare il periodo T di rotazione?

Intendi di rivoluzione? Sì, anzi è proprio quello il punto chiave del problema. Considera come se il martello stia descrivendo un'orbita ellittica mooooolto schiacciata, attorno al centro della Terra.

Per il calcolo, in genere quelle funzioni miste algebriche e trascendenti sono molto difficili da invertire... Penso che anzi l'approccio sia sbagliato: un approccio più naturale sarebbe tentare di risolvere l'equazione differenziale

, ma non ho idea di come si risolva (non è di quelle EDO molto standard... )

Se moltiplichi per , noti che e , ti trovi come funzione di e poi risolverla è più facile (quello che stai facendo è sostanzialmente usare la conservazione dell'energia per trovare prima la velocità, e poi integrare quella...).

Provo.
Dalle relazioni che hai fatto notare, si riscrive l'equazione differenziale come
. Questa ha la forma , e si sa che in tal caso è un integrale (non so se particolare o generale... purtroppo con le edo sono ferrato forse non quanto basta).
Quindi scrivo , cioè
.
Questo però è lo stesso punto a cui ero arrivato calcolando l'INVERSO della legge oraria (usando, guarda caso, la conservazione dell'energia ), quindi a questo punto più che t = f(x) non riesco a trovare...

Questo problema è un caso particolare del problema generale della distanza in funzione del tempo nel problema di Keplero. Si tratta di un problema impestatissimo (se si passa a studiare r in funzione dell'angolo si ottengono equazioni sensate, in particolare le forme polari delle coniche; ma r(t) non è altrettanto facile)
Che io sappia si può "risolvere" (in modo neanche esplicito tra l'altro) andando ad integrare l'equazione di conservazione dell'energia usando la parametrizzazione (dove a è il semiasse maggiore dell'orbita, e è l'eccentricità, la nuova variabile d'integrazione) ottenendo praticamente una cicloide:
Se neanche questo trucco losco dà un risultato invertibile, direi che è il caso di lasciar perdere
Tra l'altro questo caso degenere complica ancora la situazione.