Forum OLIFIS

Ciao ragazzi. Oggi mi sono imbattuto nel problema 3 della prova nazionale di 2002. E' un problema di meccanica, in cui si richiedeva di descrivere la seguente situazione: c'è un filo appeso al soffitto, al cui estremo c'è un anello B. Attraverso un anello è adagiato un altro filo, di massa trascurabile: ad un estremo è appesa una sfera, all'altro un contrappeso di massa maggiore rispetto alla sfera. Ammetto che non sono riuscito a risolverlo, ma guardando la soluzione sono rimasto perplesso su un po' di cose: per esempio, il tratto di filo tra l'anello B e il punto C in cui il filo tocca la sfera, è dato per scontato che sia tangente alla sfera, eppure questa evidenza io non la vedo... Potreste per favore spiegarmi il perché di questo fatto?
Secondo, può anche essere "ragionevolmente vero" (e sicuramente è vero visto che c'è scritto nella soluzione ) che le tensioni del filo nella parte sopra e sotto la sfera siano uguali, ma ancora non riesco a capire perché questo fatto sia così "banale" da non meritare neanche una spiegazione fisico-matematica.
E in effetti, mentre cercavo di risolverlo, non ho usato questi due fatti, ed effettivamente non ci ho cavato fuori un ragno dal buco dato che sono fondamentali per la risoluzione dell'esercizio.
Potreste aiutarmi a capire meglio il perché, in senso fisico, di questi fatti?

Vediamo se riesco ad aiutarti...
Primo dubbio:
supponiamo per assurdo che la corda non sia tangente alla sfera in C; allora (visto che la parte appoggiata alla sfera le è ovviamente tangente) sull'elementino di corda in C agiscono tensioni uguali ma non antiparallele, quindi c'è una forza non nulla su un oggetto privo di massa, il che è inammissibile. Del resto prova a disegnare una situazione in cui non c'è tangenza in C e vedrai quanto è intuitivamente assurda.
Secondo dubbio:
per l'assenza di attriti tra la sfera e la corda, su ogni elementino di corda agisce una reazione normale in direzione esclusivamente radiale, che quindi non entra in gioco nella relazione di equilibrio lungo la direzione tangenziale. Perciò le tensioni a destra e a sinistra devono essere uguali (se ci fosse attrito sarebbe falso). Quindi (se ti aiuta puoi pensare la corda come una "catena" discreta, con n particelle che esercitano forze attrattive ciascuna sulle sue immediate vicine, ed è chiaro che hai la stessa tensione tra ogni coppia adiacente) la tensione si propaga uniformemente da C a D.

Ti è chiaro?

Chiarissimo! Fatto sta che tutto ciò rimane non banale, quindi magari una spiegazioncina potevano metterla. Va beh ma il forum serve anche a questo!

Ciao! Vorrei chiarirmi alcuni dubbi che mi sono stati sollevati da questo problema...Spero che voi possiate aiutarmi nel dissolverli!
Nella soluzione si prende in considerazione il tratto di filo CD. Si dice che su di esso agiscono tre forze: una forza di tensione applicata in C e diretta verso l'alto, una forza di tensione su D diretta verso il basso e una forza applicata nel punto medio dell'arco CD, diretta perpendicolarmente ad esso e dovuta al contatto con la sfera. La risultante di queste forze deve essere nulla per garantire l'equilibrio del sistema.
Ora, sui punti C e D, come d'altra parte su ogni punto del filo che non si trovi all'estremità agiscono due forze di tensione dirette in senso opposto che si fanno equilibrio in quanto costituiscono tutto un gioco di azione-reazione. Nella soluzione invece nel disegnare le forze agenti su CD si tiene conto solo di una sola tensione sui punti C e D, mentre in realtà esse sono già equilibrate dall'altra forza di tensione che agisce sugli stessi punti ma in verso contrario...Perchè? D'altra parte lo dice anche Ippo qui

Ippo ha scritto: per l'assenza di attriti tra la sfera e la corda, su ogni elementino di corda agisce una reazione normale in direzione esclusivamente radiale, che quindi non entra in gioco nella relazione di equilibrio lungo la direzione tangenziale. Perciò le tensioni a destra e a sinistra devono essere uguali (se ci fosse attrito sarebbe falso). Quindi (se ti aiuta puoi pensare la corda come una "catena" discreta, con n particelle che esercitano forze attrattive ciascuna sulle sue immediate vicine, ed è chiaro che hai la stessa tensione tra ogni coppia adiacente) la tensione si propaga uniformemente da C a D.

L'altra domanda è: perchè la tensione del filo è diretta tangenzialmente al filo? Infatti se su ogni punto agiscono tensioni uguali e antiparallele, sia le forze che i momenti si annullerebbero...

black ha scritto:Ora, sui punti C e D, come d'altra parte su ogni punto del filo che non si trovi all'estremità agiscono due forze di tensione dirette in senso opposto che si fanno equilibrio in quanto costituiscono tutto un gioco di azione-reazione.

Attenzione: le due forze di tensione non sono opposte. Sono uguali in modulo, hanno componente tangenziale opposta e componente radiale uguale (diretta verso l'interno). Quindi le componenti tangenziali si elidono, mentre quelli radiali vanno sommate; per avere l'equilibrio occorre una reazione vincolare della sfera sull'elemento di corda (in direzione radiale e verso uscente), che è quella di cui parlo nel pezzo che citi. Un disegnino qui aiuterebbe.
Considerando l'arco CD nel suo insieme, si ottiene che le forze risultanti sono le tensioni tangenziali in C e in D (uguali e opposte) e la forza radiale applicata al punto medio, che è la somma di tutti i contributi infinitesimi (si applica a metà arco per simmetria). Ti è più chiaro adesso?

Allora, vediamo se ho capito...

Suppongo per adesso che la sfera sia priva di massa. In questo caso su ogni punto del filo agiscono due forze di tensione, di ugual modulo e direzione ma verso opposto, in quanto anche il filo ha massa trascurabile.

Nel caso in cui la sfera abbia una certa massa, alle già presenti coppie di tensione che agiscono su ogni punto e che rimangono invariate, si aggiunge una forza diretta radialmente che si configura come una reazione normale dovuta al contatto con la sfera.
Ora, la forza risultante che agisce su ciascun punto, la posso pensare dovuta a due forze, aventi entrambe la stessa componente tangenziale ma in verso opposto che chiamo , e la stessa componente radiale pari alla metà di quella radiale totale. Queste due forze, che chiamo rappresentano quindi ciò che tu hai detto qui:

Ippo ha scritto: Attenzione: le due forze di tensione non sono opposte. Sono uguali in modulo, hanno componente tangenziale opposta e componente radiale uguale (diretta verso l'interno). Quindi le componenti tangenziali si elidono, mentre quelli radiali vanno sommate;

Ogni punto è quindi soggetto ad una forza netta esclusivamente radiale, di modulo pari a
Prendendo in considerazione l'arco CD, la forza risultante è pari a

dove è l'angolo compreso fra la retta passante per il punto medio dell'arco CD e la retta passante per ciascun punto.
Ora, considerando che e che la reazione normale totale è applicata nel punto medio dell'arco CD per simmetria, si può pensare che l'arco CD sia interessato soltanto da 3 forze: la reazione normale, la forza T sul punto C e la forza T sul punto D in quanto la componente di T nella direzione parallela a quella radiale passante per il punto medio dell'arco CD è proprio e diretta nello stesso verso mentre l'altra loro componente nella direzione perpendicolare si annulla. Ciò spiega perché nella soluzione è rappresentata solo una tensione su C, una su D e la reazione normale nel punto medio dell'arco, e si pone nulla la risultante di queste 3 forze.

Giusto?

Tutto questo discorso però si basa sul fatto che la tensione del filo sia diretta sempre in direzione tangenziale, ma ciò come si spiega? Nel caso in cui il filo abbia massa non trascurabile sarebbe sempre vero?

Però mi è saltato in mente un altro dubbio: se invece di prendere in considerazione l'arco CD ne prendessimo un'altro della stessa lunghezza, ma ad una diversa posizione, in base alle considerazioni precedenti la forza di reazione sarebbe sempre la stessa, pari cioè a essendo T costante. Ma se prendiamo un arco diciamo "più in basso" il peso della sfera si fa sentire di più, quindi dovrebbe generare una forza di reazione più grande, no?

black ha scritto:Suppongo per adesso che la sfera sia priva di massa. In questo caso su ogni punto del filo agiscono due forze di tensione, di ugual modulo e direzione ma verso opposto, in quanto anche il filo ha massa trascurabile.

Se la sfera è priva di massa, la misura dell'arco CD è zero (la situazione degenera, la sfera sale fino a che il punto di attacco del filo coincide con l'anello)
Quindi lasciamo perdere questo caso.

Il ragionamento che segue è un po' confuso. Mi sembra che tu abbia capito e la conclusione è corretta, però ad esempio quella che tu chiami F dovrebbe essere proprio la tensione T, mentre la tua T non è chiarissimo cosa rappresenti, e scritture come a rigore non hanno senso (se intendi un angolo molto piccolo, suggerisco di usare qualcosa tipo )

black ha scritto:Prendendo in considerazione l'arco CD, la forza risultante è pari a

dove è l'angolo compreso fra la retta passante per il punto medio dell'arco CD e la retta passante per ciascun punto.

Qui credo tu intenda "l'angolo tra la retta per il punto medio di CD e la retta per D" (o per C, è uguale).

black ha scritto:Però mi è saltato in mente un altro dubbio: se invece di prendere in considerazione l'arco CD ne prendessimo un'altro della stessa lunghezza, ma ad una diversa posizione, in base alle considerazioni precedenti la forza di reazione sarebbe sempre la stessa, pari cioè a essendo T costante. Ma se prendiamo un arco diciamo "più in basso" il peso della sfera si fa sentire di più, quindi dovrebbe generare una forza di reazione più grande, no?

Il tuo dubbio non ha molto senso, non è che puoi disporre la corda come ti pare. Il sistema ha una ben definita posizione di equilibrio. Un'altra posizione in cui appoggi la stessa frazione di corda sulla sfera non ha alcun motivo di essere anch'essa d'equilibrio (il modulo della reazione resta lo stesso, ammesso che sia vero (non è detto: perché T non dovrebbe cambiare?), ma per esempio la direzione della forza cambia, la sfera si sposta, succede un po' di tutto)

Ippo ha scritto:Mi sembra che tu abbia capito e la conclusione è corretta, però ad esempio quella che tu chiami F dovrebbe essere proprio la tensione T, mentre la tua T non è chiarissimo cosa rappresenti, e scritture come a rigore non hanno senso (se intendi un angolo molto piccolo, suggerisco di usare qualcosa tipo )

Si, intendevo un angolo molto piccolo. In ogni caso quella che ho chiamato F non dovrebbe essere la tensione, perchè F è la risultante di due forze: la forza di reazione che agisce in direzione radiale e la forza di tensione che agisce in direzione tangenziale (quest'ultima è quella che ho chiamato T perchè dovrebbe essere questa la tensione nel senso proprio del termine, in quanto agisce, appunto, tangenzialmente, mentre F ha una diversa direzione poichè ha come componente la reazione normale).

Ippo ha scritto: Qui credo tu intenda "l'angolo tra la retta per il punto medio di CD e la retta per D" (o per C, è uguale).

Si, intendevo questo.

Ippo ha scritto: Il tuo dubbio non ha molto senso, non è che puoi disporre la corda come ti pare. Il sistema ha una ben definita posizione di equilibrio. Un'altra posizione in cui appoggi la stessa frazione di corda sulla sfera non ha alcun motivo di essere anch'essa d'equilibrio (il modulo della reazione resta lo stesso, ammesso che sia vero (non è detto: perché T non dovrebbe cambiare?), ma per esempio la direzione della forza cambia, la sfera si sposta, succede un po' di tutto)

Allora, qui intendevo questo: consideriamo ad esempio il punto medio dell'arco CD che chiamo M. Gli archi CM e MD sono uguali, quindi sottendono lo stesso angolo. Ciò che mi chiedo è: l'arco CM, essendo più sopra rispetto all'arco MD non dovrebbe essere soggetto ad una forza di reazione normale minore rispetto alla forza di reazione che agisce sull'arco MD?

black ha scritto:Allora, qui intendevo questo: consideriamo ad esempio il punto medio dell'arco CD che chiamo M. Gli archi CM e MD sono uguali, quindi sottendono lo stesso angolo. Ciò che mi chiedo è: l'arco CM, essendo più sopra rispetto all'arco MD non dovrebbe essere soggetto ad una forza di reazione normale minore rispetto alla forza di reazione che agisce sull'arco MD?

Ok, avevo capito tutt'altro, scusa. Comunque per quanto ti possa sembrare controintuitivo questo è quello che esce dal modello che abbiamo fatto, che è corretto. Se la reazione di un elemento di corda dipendesse in modo crescente dalla sua posizione, la direzione della risultante non sarebbe radiale, quindi avresti un momento torcente sulla sfera, e questo sarebbe ancora più controintuitivo.