Campo magnetico di un filo infinito

[Pigkappa]

Un lungo filo, per , è percorso da una corrente data dalla funzione .

È vero che il campo magnetico a distanza dal filo ha modulo:



E che le linee di forza di sono circonferenze intorno al filo?

[Gauss91]

In questo periodo il magnetismo va fortissimo! . Bene bene, esercitarsi non fa mai male.
Fissiamo un riferimento cartesiano xyz, con x uscente radialmente dal filo e z parallelo al filo. Consideriamo poi un punto P a distanza r dal filo, e poniamo tale punto come ORIGINE del nostro sistema di riferimento. Consideriamo la situazione in
Per la quarta equazione di Maxwell, in tale punto, è

.

In cui si è esplicitato il fatto che la variazione di corrente è data dalla variazione del campo elettrico, e si ha , con k costante.

Si vede quindi che il campo magnetico non ha componenti parallele al filo: ogni vettore giacerà su un piano perpendicolare al filo.
Se l'intensità di campo magnetico obbedisse ad una legge come , il suo rotore sarebbe (*). Ciò significa che
, cioè , o , come ben sappiamo.
In generale, quindi, B non obbedirà alla legge classica, valida per I(t) costante.

Non avendo il rotore di B componenti lungo x e y, si può porre , da cui . Se tale componente è uguale a 0 per ogni r, allora le linee di forza sono circolari, se invece è diverso da 0 per qualche r, non lo sono, ma sono (per considerazioni di simmetria, dato che l'angolo che ogni vettore campo magnetico forma con una circonferenza di centro il filo deve essere costante) delle spirali che si dipartono dal filo, tanto più simili ad una circonferenza quanto la variazione di corrente I(t) è piccola. Tutto sta nel calcolare , calcolabile sapendo l'espressione di B in coordinate cartesiane (B penso si possa trovare con la legge di Ampére tenendo conto della corrente di spostamento), ma le mie conoscenze si fermano qua (e, a dirla tutta, scrivere una dimostrazione del genere, per di più sicuramente piena di errori, se non è un errore unico, mi è costato una fatica immane!! ahah! però ho voluto farlo lo stesso, per sporcarmi le mani con cose più difficili: non avevo voglia di cercare una soluzione semplice, anche se probabilmente l'avrei fatta in modo più corretto. Commentate e consigliate per qualche miglioramento! )

*: (non ne sono sicuro, dato che quel rotore non so calcolarlo perché non riesco a scrivere un campo vettoriale tipo quel B in coordinate cartesiane, e delle le coordinate polari purtroppo non so molto... quel risultato l'ho estrapolato indirettamente (barando e forse anche sbagliando) dall'equazione di Maxwell: ho pensato "se I fosse costante, allora il rotore sarebbe il primo termine, e so che in tal caso B è inversamente proporzionale alla distanza". Se il risultato è sbagliato informatemi!).

[Pigkappa]

Premessa per gli altri poveri lettori: non vi è richiesto sapere cosa sia nè capire quello che diciamo, mi bastava la risposta "No, perchè quella formula deriva dalla legge di Biot-Savart nel caso magnetostatico di correnti costanti, e non vale in generale. Il campo nel punto non può dipendere istantaneamente dalla corrente nel filo, perchè l'informazione si propaga al più alla velocità della luce.".

Per la quarta equazione di Maxwell, in tale punto, è

.

Se ho capito bene, questo punto è a distanza dal filo, e immagino che possiamo scegliere . Ma allora in questo punto, che non è dentro al filo, non scorre corrente, perchè stiamo immaginando che il filo sia da solo nel vuoto... Quindi il primo termine del RHS è zero e il secondo non si collega così direttamente alla corrente nel filo a distanza (perchè non può dipendere dalla corrente a distanza nello stesso istante).

[Falco5x]

In sintesi direi che un filo a corrente variabile ha già un nome: si chiama antenna.
Se vogliamo scrivere qui un trattato sul fenomeno della radiazione elettromagnetica possiamo anche farlo, ma non mi pare proprio il caso .

[Pigkappa]

In sintesi direi che un filo a corrente variabile ha già un nome: si chiama antenna.
Se vogliamo scrivere qui un trattato sul fenomeno della radiazione elettromagnetica possiamo anche farlo, ma non mi pare proprio il caso .

Il senso del topic era quello di capire che non si possono prendere le formule per il caso di correnti stazionarie e applicarle in generale. Poi se Gauss91 vuole cercare di calcolare il campo per davvero, non vedo perchè no, finchè riesco a capire gli strumenti che usa .

[Gauss91]

Ma allora in questo punto, che non è dentro al filo, non scorre corrente, perchè stiamo immaginando che il filo sia da solo nel vuoto... Quindi il primo termine del RHS è zero e il secondo non si collega così direttamente alla corrente nel filo

Giusto... ho mischiato illecitamente nella mia mente la forma integrale e quella differenziale (con J ho preso la densità della corrente racchiusa dal percorso circolare di raggio r... insomma un mix tra Ampére e Maxwell ).

"No, perchè quella formula deriva dalla legge di Biot-Savart nel caso magnetostatico di correnti costanti, e non vale in generale.

Scusa ma non vedo la corrispondenza tra il fatto che quel risultato è dato dalla legge di Biot-Savart e il fatto che con il caso non magnetostatico la legge sia diversa. Va bene che BS dà quel risultato, ma il fatto che sia L'UNICA legge che lo dia mi pare un po' meno evidente.

finchè riesco a capire gli strumenti che usa .

La vera domanda è se riesca a capirli IO! comunque grazie per non aver mazzuolato il mio tentativo troppo impietosamente

[Pigkappa]

Non intendevo dire che BS è l'unica legge che dà quel risultato, vabbè. Quello che mi interessava si capisse è che i risultati di campo magnetico (ed elettrico) ricavati dalle solite leggi che si è abituati ad usare al liceo non valgono in condizioni non stazionarie.

[Falco5x]

A parte il fatto che generare una corrente variabile su un filo infinito (teorico) immerso in uno spazio vuoto infinito non è mica semplice. Infatti considerando il filo come una linea di trasmissione, in questo caso l'induttanza lineare risulta infinita e la capacità lineare della linea è zero, dunque è infinita anche l'impedenza caratteristica, motivo per il quale in presenza di un'onda di corrente di ampiezza finita l'onda di tensione dovrebbe avere ampiezza infinita. Come dire che in pratica questo filo dovrebbe avere corrente costante perché qualunque tentativo di imprimergli corrente variabile richiederebbe una potenza infinita.