Forum OLIFIS

Un solenoide è avvolto intorno al cilindro con . Il solenoide ha spire, e vi scorre una corrente che va verso le positive. Quanto vale il campo magnetico ?



La soluzione a posteriori è molto semplice; è comunque una cosa che conviene aver visto almeno una volta.

Se è come penso io direi che la formula è tanto più precisa quanto più le spire sono "fitte".

Vabbè, ovviamente supponiamo che le spire siano molto fitte, in modo che all'interno del solenoide si possa usare la solita formula per il campo magnetico.

E’ utile integrare il campo sull’asse di più spire, ma in questo esempio la simmetria potrebbe abbattere le difficoltà.

Forse a molti potrà sembrare una banalità siderale... ma provo a sviluppare l'idea di pascal che mia pare carina

Consideriamo il campo magnetico generato simmetrico... quindi avremo:



Perchè da una parte è entrante e dall'altra uscente... Prendiamo ora un solenoide lungo 2L e con 2N spire, attraversato dalla stessa i nel medesimo verso... nel punto avremo un campo pari a:



Se quindi "tagliamo" il nostro solenoide 2L in due parti in quel punto le componenti uscente (dal primo) ed entrante (nel secondo) dovrebbero formare il valore B trovato per il solenoide intero... riprendendo in considerazione le affermazioni precedenti sulla simmetria abbiamo:



In effetti mi sa di una soluzione un tantino ingenua, ma mi convinceva un sacco... a voi smontarla punto per punto

Intendevo proprio la simmetria descritta nell'ipotesi L>>R, a parte il segno della prima formula.

MrTeo ha scritto:[...]

Sì, è giusto. Se ora qualcuno vuol farsi del male, può anche cercare la soluzione integrosa (a quel punto, tanto vale calcolare il campo in un punto qualsiasi sull'asse).

Pigkappa ha scritto:

MrTeo ha scritto:[...]

Sì, è giusto. Se ora qualcuno vuol farsi del male, può anche cercare la soluzione integrosa (a quel punto, tanto vale calcolare il campo in un punto qualsiasi sull'asse).

Però a questo punto masochismo vuole che l'ipotesi semplificativa L>>R venga tolta. Sennò che masochismo sarebbe???

Sì, certo. Supponendo che le spire siano molto fitte, si riesce a calcolare esattamente il campo in un qualsiasi punto dell'asse, senza . Non è il massimo come problema da Olimpiadi, ma visto che il conto si fa, potete anche provarci =P

Visto che questo non è un problema da olimpiadi allora non mi faccio scrupoli e posto la mia soluzione.

Dato il campo magnetico in un punto di ascissa y sull'asse di una spira circolare posta in O :



scrivo il campo prodotto sul medesimo asse da una spira generica posta ad ascissa x:



Consideriamo adesso un solenoide di raggio R e di lunghezza L costituito da N spire affiancate (solenoide fitto).
Se le spire sono abbastanza sottili e vicine questa corrente si può assimilare a una corrente uniformemente distribuita sulla superficie di un cilindro di lunghezza L e raggio R e di valore .
Preso dunque un anello di spessore infinitesimo di questo cilindro (spira elementare), esso sarà percorso da una corrente , ovvero dove n è il numero di spire per unità di lunghezza.
Il campo totale prodotto da un solenoide che si estende dall'ascissa 0 all'ascissa L in un punto posto ad ascissa x sarà:



Ricordando il seguente integrale:



ed eseguendo una sostituzione di variabile



si ottiene:



Come caso particolare si può determinare il campo al centro del solenoide, cioè ad ascissa L/2:




Si vede che se il solenoide è molto lungo (al limite infinito) il campo suddetto diventa:



che è la formula classica del solenoide ideale.

Con considerazioni analoghe, nel caso in cui il raggio R sia trascurabile rispetto a L il campo ad una sua estremità (o nell'origine) tende a: