Conduzione a distanza.

[Pigkappa]

Due sfere conduttrici identiche di raggio sono immerse in un liquido di conducibilità e costante dielettrica . La distanza tra i centri è . Tramite un generatore di tensione, le sfere sono mantenute rispettivamente al potenziale e . Si trascurino gli effetti di induzione elettrostatica.

Calcolare:
1)La carica su ciascuna sfera.
2)La corrente che scorre tra le sfere e la resistenza del sistema.

Ad un certo punto, le sfere vengono disconnesse dal generatore.
3)Calcolare la legge temporale con cui si scaricano le due sfere.


Fonte: è ancora un problema che viene da http://www.df.unipi.it/~macchi/ .

[Stardust]

Data la grande distanza l tra i centri delle due sfere, esse possono essere considerate come dei condensatori sferici "incompleti",
cioè senza l'armatura esterna.
Ne consegue che la loro capacità è:
.
Così si ha:
.
Ricordando che il campo elettrico è legato alla conducibilità dalla formula

e che la superficie esterna di entrambe le sfere è , si evince che
.
"E" rappresenta il campo elettrico che varia a seconda della distanza tra le due sfere.
Poichè tutta la carica che è immessa nel liquido dielettrico da una sfera rientra poi nell'altra, e pochè queste sono geometricamente identiche,
si osserva che i e J sono comuni per entrambe le sfere. Mi sembra ragionevole scegliere come valore di E quello misurabile appena all'esterno di una delle due sfere,
pari a , trascurando l'apporto al campo fornito dall'altra sfera perchè posta a grande distanza.
Quindi sostituendo q ed E nella formula dell'intensità di corrente si ottiene:
che diventa infine
.
La resistenza vale:
.
Ho qualche dubbio sulla scelta del valore del campo elettrico, perchè ho limitato il mio ragionamento alla regione dello spazio più prossima alla sfera, senza descriverne l'andamento generale.
Per il terzo punto non mi viene in mente nulla di veramente utile, per ora, sempre che in quello che ho scritto finora ci sia qualcosa di valido ...

[Hope]

il terzo punto si parte con i(t)=dq(t)/dt
q1(t)=Q1-q(t) e q2(t)=Q1+q(t)
si impone la conservazione dell energia ed effetto joule e si risolve l'equazione differenziale
si trova la legge temporale

[Pigkappa]

Il campo di una carica puntiforme è proporzionale a , non a ! Questo errore ti fa sballare tutte le unità di misura, tra l'altro (e quindi è particolarmente grave).

A parte questo, il metodo è quello che hai usato, ma non giustificare le cose dicendo "mi sembra ragionevole che": non è per niente bella come esposizione. Inoltre, la corrente non è banalmente , ma piuttosto ; la tua relazione vale solo con delle ipotesi aggiuntive (superficie perpendicolare alla direzione della densità di corrente, densità di corrente uniforme sulla superficie...), e anche se poi nel fare il problema si cerca proprio di ridurci ad usare la tua formula, non puoi dire che vale in generale.

Rifacendo i conti dovresti trovare che non dipende dalla differenza di potenziale... E se dipendesse da vorrebbe dire che il sistema non sarebbe ohmico, cosa piuttosto spiacevole (ci sono sistemi non ohmici, ma sono un po' più complicati di questo).

La terza domanda non è più difficile della seconda, basta capire come legare le grandezze di cui si sta parlando.

[Stardust]

Mi correggo.
Quindi si ha:
.
Sappiamo che
e che in questa situazione particolare si verifica che
.
Avendo

ed essendo la superficie della sfera
, si ottiene:
. Dato che q è la carica presente su ciascuna delle due sfere, si arriva a:
.
Dalla I legge di Ohm si ha
.