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L'altro giorno ho letto un IPhO nel cui testo era scritto:
"it may be shown that a time dilation is always accompanied by a contraction in the unit of length by the same factor "
Provando a dimostrarlo ho fatto il seguente ragionamento:
-Mi pongo in un sistema S e osservo un sistema di riferimento S'
-Guardo l'osservatore in S' che tenta di calcolare la velocità di un raggio di luce che si muove parallelamente a lui
-Io vedo l'orologio del tizio in S' che è rallentato di un fattore K, ma so anche che la velocità che misura dovrà essere c. Ma l'unico modo in cui questo può accadere è che il metro che usa per calcolare le distanze si contragga di un fattore K.

Sembra filare tutto liscio, ma se prendo il raggio che si muove perpendicolarmente alla velocità di S' ottengo un'assurdità. Dov'è l'errore?

P.S. Poi credo di essere riuscito a dimostrare in maniera giusta quel fatto, ma prima devo riorganizzare bene le idee.
Magari lo scrivo nei prossimi giorni, così mi potete dire se vedete qualche errore.

[Questa parte ho iniziato a studiarla da poco, quindi correggetemi eventuali strafalcioni !]
Se S' si muove rispetto a S con una velocità lungo l'asse x , allora si possono usare le trasformazioni di Lorentz
, e Da queste si ottiene che e . Se consideriamo un raggio che in S è perpendicolare a , allora esso avrà in S una velocità orizzontale nulla ed una velocità verticale . Pertanto in S' le componenti della sua velocità saranno e , da cui facilmente si ricava che anche in S' il raggio ha velocità , anche se non più perpendicolare al'asse x. Quindi per la dilatazione temporale puoi considerare solo la componente y, mentre non c'è contrazione di lunghezza sull'asse y in quanto è perpendicolare a . Quale sarebbe l'assurdità a cui alludi ?