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Prendiamo n corpi di massa $m_1, m_2, \dots, m_n$ , calore specifico $c_1, c_2, \dots, c_n$ e temperatura iniziale $T_1, T_2, \dots, T_n$ e mettiamoli in contatto termico tra loro. Determinare la temperatura di equilibrio $T'$ supponendo che non ci siano cambiamenti di fase o scambi di calore con l'ambiente.

La formula per $T'$ vi ricorda qualcosa?

Per comodità scriviamo le capacità dei corpi come $C_i \equiv m_i c_i$ , e le supponiamo costanti. La variazione di entropia dell’i-esimo corpo è
$\Delta S_i = C_i \int\limits_{T_i }^{T_f } {\frac{{dT}}{T} = } C_i \ln \frac{{T_f }}{{T_i }}$
La variazione di entropia del sistema, che non ha scambi di calore con l’esterno, deve essere non negativa:

$\sum {\Delta S_i } \ge 0$
$\left( {\sum {C_i } } \right)\ln T_f - \sum {\left( {C_i \ln T_i } \right)} \ge 0$

L’uguaglianza si ha se gli scambi di calore avvengono in modo reversibile. Se chiamiamo T’ la temperatura di equilibrio in questo caso, si ha

$T_f \ge T' = \left( {\prod {T_i } ^{C_i } } \right)^{\frac{1}{{\sum {C_i } }}}$

cioè T’ è la media geometrica delle temperature iniziali pesate rispetto alle capacità.
È interessante anche vedere il bilancio termico del sistema; dal primo principio:

$\sum {\Delta U_i = Q - L}$

Ma Q = 0, perciò

$\left( {\sum {C_i } } \right)T_f - \sum {\left( {C_i T_i } \right)} = - L$
$L = \left( {\sum {C_i } } \right)\left( {\frac{{\sum {C_i } T_i }}{{\sum {C_i } }} - T_f } \right)$

Per trasformazioni isocore L=0 e la temperatura di equilibrio è la media aritmetica ${\bar T_{i,C} }$ delle $T_i$ pesata rispetto alle capacità.
D’altra parte $T_f \ge T'$ , perciò si vede che il lavoro massimo che si può estrarre dal sistema
$L_{\max } = \left( {\sum {C_i } } \right)\left( {\bar T_{i,C} - T'} \right) \ge 0$
non è negativo perché la media aritmetica è maggiore o uguale a quella geometrica. Questo è ragionevole: non c'è bisogno di fornire energia dall'esterno per portare il sistema all'equilibrio.

Ciao Stefano!
sono molto interessanti la soluzione con l'entropia e la formula per ricavare il massimo lavoro estraibile.
in effetti nelle mie intenzioni il lavoro compiuto o fatto dal sistema doveva essere nullo, ma non ho pensato di specificarlo. come hai detto tu con L=0 si trova che la temperatura finale è la media aritmetica pesata rispetto alle capacità; formula che mi ha ricordato molto l'espressione per le coordinate del centro di massa di un sistema di corpi.
Comunque la soluzione che hai postato mi sembra davvero molto utile

Ciao Giuliano!

Sì in effetti l'ipotesi L=0 è abbastanza naturale (per esempio per estrarre il lavoro massimo in teoria bisognerebbe collegare i corpi con macchine reversibili che lavorano a temperature variabili...

). Comunque l'analogia con il CM è interessante, e anche il vedere come si può comportare un sistema quando all'inzio non è in equilibrio.

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Temperatura di equilibrio (vi ricorda qualcosa?)

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Re: Temperatura di equilibrio (vi ricorda qualcosa?)

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Re: Temperatura di equilibrio (vi ricorda qualcosa?)