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Vi propongo un problema infame che ha una soluzione molto corta e per certi versi geniale. Invito anche i più bravi ad affrontarlo, ma non postate la soluzione o aiutini se lo conoscete già, o se ne avete visto qualcuno praticamente uguale. Se non capite il problema, ditelo che cerco di enunciarlo diversamente; il testo è molto semplice da capire.

Una griglia è formata da infinite resistenze disposte a reticolo tutte uguali ad (per capire come è fatta, immaginate che sul piano xy, i punti a coordinate intere che sono affiancati siano collegati da una resistenza ). Calcolare la resistenza equivalente tra due nodi contigui.

Per resistenza tra nodi contigui intendi che dobbiamo immaginare che ci sia una differenza di potenziale applicata a due nodi successivi?

SÌ.

Pigkappa ha scritto: ha una soluzione molto corta e per certi versi geniale.

Non lo sapevo!! (mi ci sono già rotto la testa per un po' una volta, senza cavarne nulla).
mi hai incuriosito... Aspetterò, e intanto magari ci penserò ancora

C'è qualcosa che non mi torna.
Forse dico una fesseria... però dall'enunciato sembrerebbe che la resistenza equivalente non dipendesse dalla posizione dei due nodi contigui scelti. Ma allora posso prendere anche due nodi situati sulla periferia del quadrato, ad esempio a metà di un lato. Ma da questa posizione mi sembra invece che la resistenza dovrebbe essere circa il doppio di quella misurata tra due nodi centrali.
Vabbè, abbiate pietà e ditemi dove sbaglio.

Il testo è un po' impreciso, lo modifico. Visto che le resistenze sono infinite, è chiaro che non è proprio un "quadrato" di resistenze, e che non c'è un perimetro. Tutto il piano è ricoperto di resistenze, che formano un reticolo.

Ippo ha scritto:(mi ci sono già rotto la testa per un po' una volta, senza cavarne nulla)

Sì, anche io ci avevo provato con metodi contosi quando ero ancora al liceo senza riuscirci... Recentemente invece ci hanno spiegato la soluzione (al corso interno di fisica).

Sapevo di averlo già visto da qualche parte...
http://xkcd.com/356/ (non penso sia di aiuto, ma al massimo la figura aiuta)
Non è esattamente la stessa situazione (nel caso del link non sono nodi contigui, sono tutte resistenze da 1 Ohm, è una vignetta....)

Magari sto dicendo una boiata, ma può essere 0?

Spiega perchè dovrebbe essere 0 e vediamo...

Dunque io ho ragionato così: chiamo i punti contigui a e b, e vedo tutti i percorsi che li congiungono.
So che ce n'è ALMENO uno per ogni numero n di resistenze attraverso cui voglio passare (perché ne ho infinite). Se passo per un numero m di resistenze, essendo queste in serie, la resistenza equivalente per cui dovrò passare sarà mR.
Notiamo infine che ogni percorso contiene un numero DISPARI di resistenze.
Questi percorsi possono essere visti come collegamenti in parallelo da a a b: la resistenza totale, essendo i percorsi infiniti, sarà data da

. Quella serie diverge, tende a +infinito, quindi si trova infine .

Sottolineo ora quell'ALMENO all'inizio della dimostrazione: ne esiste infatti, per ogni , più di uno. Quindi la resistenza equivalente finale sarà minore della trovata. Ma essendo una resistenza, non può essere negativa, quindi si può dire in definitiva che è 0.

Correggimi senza pietà se ho detto boiate come è molto probabile