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Di quanto si contrae la molla?
Inviato: 28 nov 2009, 16:39
da Ippo
Abbiamo una normale molla di lunghezza a riposo
, massa
(uniformemente distribuita per tutta la lunghezza) e costante elastica
. Se la mettiamo in verticale, di quanto si contrae a causa del suo stesso peso?
hints:
1)
trattate la molla come N piccole masse M/N separate da piccole molle ideali (senza massa) di lunghezza l/N, e nel risultato mettete N molto grande
2)
se tagliate una molla in parti più piccole, qual è la costante elastica delle molle che ottenete?
Re: Di quanto si contrae la molla?
Inviato: 1 dic 2009, 0:29
da spn
Bel problema. Il mio tentativo di farlo senza dare un'occhiata agli hint è fallito miseramente...
Divido la molla in N molle uguali. Ognuna delle quali ha come costante elastica
(le costanti elastiche di molle una dopo l'altra si comportano come resistenze in parallelo).
Conto le molle dall'alto verso il basso. La forza agente sull'x-esima molla è:
}=mg{(x - 1) \over N})
e la contrazione è:
}= {F_{(x)} \over k_N}={mg \over N^2 k}(x-1))
Ora, la contrazione totale è data dalla sommatoria della contrazione di ciascuna molla, ossia:
={mg \over N^2 k}\sum_{x=1}^{N} x-1={mg (N^2 - N)\over 2N^2 k})
Infine:
\over 2N^2 k}= {mg \over 2k})
Ossia, si accorcia come se sulla molla agisse il suo stesso peso medio; probabilmente ci si poteva arrivare anche prima.
Re: Di quanto si contrae la molla?
Inviato: 2 dic 2009, 15:02
da Alex90
Considerando che il peso della molla può essere considerato come tutto concentrato in un punto a metà altezza, immaginando la molla come divisa in 2 parti di costante elastica
(
) si ha
Re: Di quanto si contrae la molla?
Inviato: 2 dic 2009, 16:17
da Ippo
Alex90 ha scritto:Considerando che il peso della molla può essere considerato come tutto concentrato in un punto a metà altezza [...]
beh, questo andrebbe dimostrato
(l'altra soluzione lo dimostra)