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a) Abbiamo un piano inclinato di un angolo sotto l'orizzontale. Una pallina ci rotola sopra. Il coefficiente d'attrito statico è grande a piacere, in modo da garantire comunque il puro rotolamento. Qual è l'accelerazione della pallina?
b) Ora al posto del piano inclinato abbiamo due piani disposti a formare un diedro retto, simmetrico rispetto al piano verticale passante per lo spigolo (in sezione è una V), ancora inclinato di sotto l'orizzontale. Dimostrare che l'accelerazione della pallina è .
c) E se l'angolo tra i due piani del diedro non misura ma ha un valore generico, diciamo ?

Faccio direttamente il caso generale del punto c)
Si vede che la sfera rotola attorno all'asse passante per AB, su cui agiscono le forze d'attrito della V. AB dista da O una distanza pari a (si vede dalla goniometria dei triangoli rettangoli). impostando le equazioni del moto traslatorio e rotatorio e chiamando f la somma delle forze d'attrito si ricava:


dove è l'accelerazione angolare.
operando un pò di sostituzioni e usando l'espressione di I:


Per il diedro retto è e quindi , mentre per il piano inclinato normale è e
Una bonus question potrebbe essere trovare in funzione di e il minimo valore del coefficiente d'attrito che impediscelo slittamento.

Uh, il grande ritorno di Rigel!!

Rigel ha scritto:Faccio direttamente il caso generale del punto c)

Ok, le domandine d'invito erano pensate per utenti meno esperti XD

Una cosa simpatica è pensare ai momenti torcenti associati a ciascuna forza d'attrito come vettori, e vedere che sono inclinati sopra/sotto l'orizzontale dello stesso angolo in modo che la loro somma vettoriale è orizzontale e la sfera rotola effettivamente attorno all'asse giusto.

Vediamo la bonus question. L'espressione di f che hai ricavato è

Se N è il modulo della reazione normale complessiva del diedro, per l'equilibrio nella direzione ortogonale al moto abbiamo

e la condizione affinché il puro rotolamento possa avvenire è che la forza d'attrito statico richiesta, f, sia minore della massima possibile:



La proporzionalità a è intuitiva, l'andamento rispetto a è più curioso

Ippo ha scritto:

Rigel ha scritto:Faccio direttamente il caso generale del punto c)

Ok, le domandine d'invito erano pensate per utenti meno esperti XD

Beh il problema sembrava un pò al capolinea... ma non ho capito quando sono diventato un utente esperto

Dai Rigel, non fare il modesto XD