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Non è un vero e proprio problema, sono più che altro domandine simpatiche (o no, fate voi).

C'è un satellite in orbita geostazionaria che ad un certo punto esplode frantumandosi in due pezzi uguali. Dire se (e dove, e quando) i due pezzi si riincontreranno nei seguenti casi:

a) i due pezzi sono sparati in direzione tangenziale (nel riferimento del c.d.m. satellite)
b) i due pezzi sono sparati in direzione ortogonale al piano dell'orbita (ancora nel riferimento del c.d.m. del satellite)
c) i due pezzi sono sparati in direzione radiale (sempre nel riferimento del c.d.m. del satellite)

UP!

Beh visto che lo chiedi a gran voce risponderò a queste domandine simpatiche (a parte la terza)
a) le orbite diventano due ellissi uguali e simmetrici rispetto alla retta passante per la terra e per il punto dell'eplosione P. questo perchè essendo i due pezzi uguali, la variazione di velocità è la stessa e dunque anche la velocità finale è la stessa in modulo, ma non in direzione. quindi afelio e perielio saranno uguali per i due pezzi tranne che per la posizione. dunque anche i periodi coincidono e i pezzi si reincontreranno nel punto dell'esplosione. da notare che le orbite s'intersecano anche nel simmetrico di questo punto rispetto alla terra, ma i satelliti ci arrivano in momenti diversi, dato che essi hanno la stessa velocità areolare (dipendente dal momento angolare), ma quello sparato verso la terra percorre un'area minore prima di arrivare a questo punto P'.
b) le orbite sono sempre due ellissi uguali e inclinati rispetto al piano dell'orbita, di un angolo la cui tangente è proporzionale alla variazione di velocità. questi due ellissi dovrebbero essere simmtrici rispetto al piano perpendicolare a quello dell'orbita e che contiene la terra e P. i periodi sono sempre uguali e quindi i pezzi si reincontrano in P.
c) le orbite adesso sono due ellissi tangenti in P, ma con diverso asse maggiore, che è più grande nell'orbita del frammento accelerato. quindi i periodi non sono uguali e i frammenti si reincontrano in P solo se il rapporto tra i periodi è un numero razionale. per trovare una formula bisognerebbe vedere un pò come variano gli assi maggiori, ma i calcoli non mi sembrano molto belli...se trovo qualcosa la posto, ma intanto lascio l'onere ai più volenterose
P.s: Ippo, complimenti per la promozione!

Mitico Rigel
credo che tu abbia chiamato "a" il punto "c" e viceversa, in ogni caso ok
(punto a: se sono sparati in direzione tangenziale uno ha più energia e momento angolare dell'altro, P è perielio di un'orbita e afelio dell'altra, e i due si riincontrano solo se il rapporto dei periodi è razionale, come dici in c; punto c: se i due frammenti sono sparati in direzione centripeta/centrifuga mantengono stessa energia e momento angolare, quindi le orbite sono uguali e simmetriche, come dici in a; il punto b invece corrisponde )

quanto al tuo spunto di riflessione per il punto a, si ha che l'asse maggiore dell'orbita dipende solo dall'energia, e lo si può calcolare facilmente. scriviamo l'energia di una massa m che orbita attorno alla Terra (ponendo ):
sostituendo la velocità angolare con L/mr^2.
Nell'afelio e nel perielio la velocità radiale è nulla. Allora si ha

La nota formula per la somma delle radici di un'equazione di secondo grado ci dà quindi che la somma delle distanze dalla Terra all'afelio e distanza al perielio, che è poi nient'altro che l'asse maggiore, è

da cui il semiasse maggiore
(notare che E è una quantità negativa, quindi a è positivo, e che man mano che E si avvicina a 0 a cresce indefinitamente, fino al caso limite della parabola: tutto torna).
Abbiamo quindi che il rapporto tra i periodi, chiamiamolo t, è pari al rapporto tra i semiassi maggiori, e quindi delle energie, elevato alla 3/2.
In formule:

è il raggio dell'orbita geostazionaria. Niente di troppo illuminante

Lo avevo risolto applicando la conservazione della quantità di moto alla massa iniziale 2m alla velocità e ottenendo dei frammenti alle velocità e . Per i due frammenti la conservazione dell’energia fornisce:





Il rapporto delle due equazioni consente, mediante la terza legge di Keplero, il calcolo del quoto dei periodi.
Qualche limite alla velocità dovrebbe essere posto per evitare che la massa più lenta possa scontrarsi con la terra.

Ippo ha scritto:credo che tu abbia chiamato "a" il punto "c" e viceversa, in ogni caso ok

sì ho scambiato tangenziale e radiale e poi essendo il punto a) il più difficile ho voluto trattarlo per ultimo