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c'è un tavolo liscio con un buco, idealmente puntiforme, attraverso cui passa un filo di lunghezza l, che vi può scorrere attraverso senza attrito. Ai due estremi del filo sono appese due masse: M sotto il tavolo, m appoggiata sopra. Ad m viene impressa una certa velocità iniziale.
Assumendo che tra la massa m e il tavolo non vi sia attrito e che la massa M si muova solo verticalmente:

i) dire sotto quali condizioni (velocità, distanza dal buco) m si muove di moto circolare uniforme;
ii) trovare il periodo delle piccole oscillazioni verticali di M attorno al suo punto di equilibrio se, nella situazione di equilibrio data dalle condizioni appena trovate, essa viene spostata (poco) in verticale.
iii) dire sotto quali condizioni i periodi dei due moti (la rivoluzione di m e l'oscillazione di M) sono uguali.

(più o meno tratto dal Morin)

Vabbè, ci provo io...

1)
Direi banalmente che le condizioni sotto le quali m si muove di moto circolare uniforme sono tali che la forza centripeta, cioè quella peso di M, è uguale a quella centrifuga:




2) Per la conservazione del momento angolare:



Ora, considerando positiva la direzione verso l'alto, la forza risultante agente sul sistema è data da:


Posso scrivere , ed essendo allora posso approssimare:



Sostituendo:



Questa forza,agente sia su m che su M, è paragonabile a quella di una molla di costante elsastica e periodo .

3) se noi consideriamo che la traiettoria di m rimane pressapoco circolare uniforme, il suo periodo è



Quindi solo se .

Riemergo dal mio letargo informatico per scrivere un post di una banalità unica
La soluzione di spn mi sembra giusta (ma aspettiamo l'intervento risolutore di Ippo). Una precisazione pignola rguardo al 2), visto che quella scritta non è propriamente la forza esterna, dato che le uniche forze esterne sono la gravità e la reazione del tavolo. comunque il ragionamento fila e per me non c'è nulla da aggiungere

Wei, intervento risolutore addirittura XD
sì, in realtà se per "sistema" intendi solo la massa che pende dal tavolo è anche giusto parlare di forza esterna poi comunque si capisce.
La cosa interessante sul punto 3 è che, se pensiamo alle oscillazioni della massa che gira anzichè di quella che pende (che sono sostanzialmente la stessa cosa), vediamo che la traiettoria della massa rotante è un'orbita chiusa (cioè il periodo di rivoluzione è multiplo del periodo di oscillazione) solo per alcuni particolari valori dell'altra massa. Cioè, a livello fisico, non lo è praticamente mai (non possiamo fissare M con precisione assoluta: nell'arco di molti giri vedremo comunque una certa precessione). Invece sappiamo che, ad esempio, i pianeti, indipendentemente da ogni parametro, compiono orbite chiuse....
meditate gente, meditate....

Rigel ha scritto: Una precisazione pignola rguardo al 2), visto che quella scritta non è propriamente la forza esterna, dato che le uniche forze esterne sono la gravità e la reazione del tavolo. comunque il ragionamento fila e per me non c'è nulla da aggiungere

A tal proposito mi voglio soffermare sull’impostazione della soluzione proposta da spn, discutendo l’appartenenza di alla tipologia “ma” o “F” nel secondo principio della dinamica. La scomposizione dell’accelerazione si può realizzare in infiniti modi, però solitamente conviene effettuarla in componenti cartesiane, nella direzione tangente e in quella centripeta, nella direzione radiale e in quella ortogonale. Escludendo quella cartesiana perché svantaggiosa e quella tangenziale e centripeta in quanto la direzione della velocità varia se pur di poco, rimane la scomposizione radiale e trasversa. La componente dell’accelerazione nella direzione del filo vale:

,

quindi il secondo termine deve essere inteso come una parte dell’accelerazione radiale di m. Dunque:

, dove è la tensione del filo.

Per la massa M si ha:



Sommando le due equazioni differenziali si giunge a:



Dalla conservazione del momento angolare consegue che , pertanto il secondo membro della legge del moto si trasforma come indicato da spn.
Un altro modo di procedere consiste nel porsi nel sistema rotante del filo: le forze efficaci per il moto del sistema sono quella centrifuga verso l’esterno ed il peso discorde –Mg, invece si equilibrano le forze apparenti perpendicolari al raggio.