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Una pallina, che all'inizio viaggia orizzontalmente, rimbalza contro un piano inclinato di un'angolo rispetto all'orizzontale. All' n-esimo rimbalzo essa si scontra perpendicolarmente col piano. Determinare . (Naturalmente si considerino tutti gli urti elastici, e il piano privo di attrito ).

Consideriamo un sistema cartesiano con assi x e y parallelo e perpendicolare al piano inclinato rispettivamente. In particolare l’asse x ha il verso della salita e l’asse y è diretto verso l’esterno del piano.
Tra un urto “i” e il successivo “i+1” si hanno le seguenti componenti delle velocità:





L’ordinata

si annulla per .

Un istante prima dell’impatto si ottiene





Appena dopo l’urto elastico si ricava





Rapportando membro a membro si giunge a



dove , sono gli angoli che formano le direzioni della velocità con l’asse y subito dopo i due urti successivi, mentre è l’angolo tra la verticale ed y, uguale all’angolo del piano inclinato con l’orizzontale. Iterando la precedente relazione si ha



Poiché si perviene a



Ma la velocità dell’ennesimo urto deve essere ortogonale al piano e quindi da cui discende che

Anch'io avevo pensato a un sistema di riferimento come quello che hai posto tu, poi non ho pensato di scrivere la relazione ricorsiva...

Spettacolo!!

Per chi non avesse molta dimestichezza con gli angoli e iterazioni, posto il ragionamento che avevo fatto, che è sicuramente meno elegante di quello di pascal, ma forse più 'spiccio'

La prima parte è praticamente analoga ai passaggi di pascal. Ponendoci infatti nello stesso sistema di assi cartesiani si ha:



E, essendo la velocità verticale la stessa appena dopo ogni rimbalzo, il periodo fra un rimbalzo e quello dopo è lo stesso, ed è .

Ora, all'n-esimo rimblazo, essendo questo perpendicolare col piano, allora , e il tempo totale trascorso è . Da cui:



Da cui si ha proprio .

Penso che alla fine il grosso del lavoro in questo caso è quello di trovare il sistema di riferimento più conveniente.

Grazie, molto gentili.

Vorrei soltanto evidenziare che si può evitare di interpretare la relazione da me indicata in termini di ricorsione. Basta osservare che diminuisce della quantità costante in ogni urto, dopo la collisione iniziale, con un decremento totale di .