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Piccola variazione sul tema (togliendo qualche suggerimento) di un problema scolastico (ovvero trovato sul mio libro delle superiori).

Una sfera carica omogenea di raggio R=1,0 m e Q= -0,5 C è attraversata da un foro che la percorre lungo un diametro; il foro è particolarmente piccolo e non modifica le proprietà elettriche della sfera. Una carica q=2,8 mC di massa m=3,0 x kg viene appoggiata all'imboccatura del foro.
Descrivere il moto della carica appoggiata.

La sfera è carica in maniera omogenea, quindi rispetta la legge di Gauss per la simmmetria sferica.
In realtà quando la particella q si trova all'interno del solido con il foro, su di essa non si esercita alcuna forza
(2° teorema dello strato sferico), quindi resta in stato di quiete o in moto rettilineo uniforme.
Non riesco però a capire cosa succeda alla particella quando si trova sulla superficie, all'inizio del foro. In questo punto dovrebbe essere applicata una forza pari a
,
in cui E è il campo elettrico generato da Q sulla superficie ed esternamente ad essa.
Ciò ovviamente implica un'accelerazione, che però a mio avviso si effettua
solo per un brevissimo istante prima che il baricentro della particella carica penetri nel foro
(supponendo che il suo baricentro sia allineato con l'inizio della cavità).
A prima vista ho quindi l'impressione che la particella si muova in maniera praticamente impercettibile,
o rimanga del tutto ferma.
Ho appena iniziato l'elettrostatica, quindi non so quanto siano valide le mie conclusioni.

Ok, ho commesso un grossolano errore nell'interpretazione della traccia, considerando una cavità ben più ampia di quella data dal problema.
Dato che la notte porta consiglio, il discorso mi sembra simile a quello di un corpo che si muove attraverso un foro all'interno del pianeta, da un polo all'altro.
La carica Q ha una distribuzione volumica d pari a
.
Quidi la forza che si esercita cambia man mano che si penetra nella sfera, rendendo il valore R più piccolo (converrà chiamarlo x) e diminuendo la quantità di carica che effettivamente agisce sulla q, in quanto la carica dello strato sferico esterno alla posizione assunta dalla carica non esercita alcuna influenza. Ciò significa:
.
Ovvero:
.
Quindi:
.
Possiamo scrivere:
.
Sembra proprio di trovarsi di fronte ad un moto armonico, con
.
Conosciuta la pulsazione o frequenza angolare
posso azzardare una legge oraria per il moto armonico, ponendo l'ampiezza massima di oscillazione pari a :
.

Ok.......quando hai fatto la considerazione sull'oscillazione penso che si possa semplicemente dire che si muove di moto armonico di periodo T=....
Quindi:
Calcolare il periodo dell'oscillazione (qui è la parte carina di un problema altrimenti sui generis...) senza ricorrere all'equazione del moto o alla velocità angolare

L'espressione della forza diventa, sostituendo il valore di d trovato da Stardust
, dove considero le cariche in valore assoluto.
l'espressione in frazione è una specie di costante elastica e quindi il periodo è

Una bonus question potrebbe essere fare la stessa cosa con la gravitazione e i dati della Terra:

Rigel ha scritto:...l'espressione in frazione è una specie di costante elastica e quindi il periodo è

Intendevo esattamente quello... (anche il risultato numerico è giusto)....