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Si consideri un sistema di quattro fili uniformemente carichi e paralleli all'asse z di un sistema di riferimento cartesiano. La posizione dei fili è tale da lasciare nel piano xy quattro tracce puntiformi (i vertici di un quadrato simmetrico rispetto all'origine) contrassegnate con il + per x>0 e con il - per x<0. La distanza di ogni filo da ogni asse vale d. La densità di carica lineare dei fili è la stessa in modulo ma è positiva per x>0 e negativa per x<0 - come detto.

1. Per y= 0 si calcoli l'andamento in funzione di x del campo elettrico e si grafichi (sempre in funzione di x) la dipendenza del potenziale.

2. Discutere qualitativamente il moto di una particella carica positiva posta per t=0 ferma in un punto x=a arbitrario e y=0. In particolare si analizzi sotto quali condizioni la carica può dar luogo ad un moto oscillatorio uniforme e, nel caso affermativo, se ne calcoli la frequenza.

modesto ha scritto:1. Per y= 0 si calcoli l'andamento in funzione di x del campo elettrico e si grafichi (sempre in funzione di x) la dipendenza del potenziale.

Sarà una domanda stupida ma.. bisogna disegnare il grafico della dipendenza del potenziale DA x giusto? Calcolare la V(x) insomma. L'unico procedimento che mi viene in mente è tramite un'integrale che però non saprei risolvere. Gli integrali non sono però nel programma dell'esame, quindi c'è un'altra via?

Nota che c'è scritto "graficare" e anche al punto dopo ti chiede un'analisi "qualitativa"

michele95 ha scritto:Nota che c'è scritto "graficare" e anche al punto dopo ti chiede un'analisi "qualitativa"

Ok, mi sembrava troppo vago.. Quindi si intende un grafico probabile! Ok grazie!

E' la mia interpretazione, non prenderla per vera in assoluto.

michele95 ha scritto:E' la mia interpretazione, non prenderla per vera in assoluto.

sì certo.. ma perchè è la prima cosa che ho pensato anche io ma come ti ho detto mi sembrava troppo a sentimento.. in realtà pensandoci un attimo si può disegnare un grafico sensato lo stesso, o almeno abbastanza "preciso" da far trovare punti di equilibrio instabile e stabile e il relativo moto oscillatorio.
Mi manca di calcolare le frequenza e capire se è uniforme (se i punti prima sono corretti).

Non ho saputo riportare la figura del testo che ho un po' integrato in modo da descrivere la figura medesima. Se qualcuno riesce a farlo ben venga. Comunque c'è scritto "si grafichi" e penso che la vostra interpretazione sia giusta. Si tratta di calcolare il campo dei 4 fili in P(x,0) quando è notissimo il campo generato da un filo uniformemente carico. Basta poi proiettarlo sull'asse x. Da dove si annulla e dal suo segno si può dedurre già l'andamento di V(x)(graficare) - essendo dV/dx= -E. Comunque se uno volesse integrare credo che V sia esprimibile come differenza di due logaritmi perchè E (e quindi -E) è somma di due addendi in cui il numeratore è praticamente la derivata del denominatore. Integrali e derivate semplici credo che bisogna saperli. Vista la posizione di equilibrio stabile si tratta (e secondo me è il punto difficile del problema) di esprimere E, nell'intorno di questa posizione, in modo proporzionale all'opposto dello spostamento - piccolo- da essa (come nella molla del moto armonico). La domanda è: il "moto oscillatorio uniforme" di cui parla è come il moto armonico?
Un'osservazione che non so se condividete: la frequenza mi viene in funzione della carica e della massa. Ma NON sono date.

Tra parentesi, il potenziale non è eccessivamente difficile da calcolare. Basta sommare i potenziali dei quattro fili.

michele95 ha scritto:Tra parentesi, il potenziale non è eccessivamente difficile da calcolare. Basta sommare i potenziali dei quattro fili.

Ma per calcolare il potenziale di un filo infinito carico è necessario integrare (comunque gli integrali non sono presenti nel syllabus della prova di matematica ma mi pare fosse esplicitamente scritto che sarebbero potuti servire nella prova di fisica).

modesto ha scritto: La domanda è: il "moto oscillatorio uniforme" di cui parla è come il moto armonico?

Il dubbio era venuto anche a me ma credo di si, infatti moto oscillatorio sarebbe un qualunque moto ripetuto ciclicamente, uniforme credo che sia proprio il moto armonico (è infatti uniforme nel senso che è simmetrico rispetto ad un punto centrale).

Un'osservazione che non so se condividete: la frequenza mi viene in funzione della carica e della massa. Ma NON sono date.

Non ho ancora svolto il problema comunque mi aspetto anch'io che nel calcolo della frequenza spuntino la carica e la massa. Credo che non importi se non sono date la massa e la carica la domanda principale in fondo era stabilire se fosse possibile il moto armonico, il calcolo della frequenza è una domanda aggiuntiva.

Sono d'accordo con le vostre considerazioni, in particolare con quelle di Gabry - capita anche questo.. Tranne che sulla ragione del termine "uniforme" che non credo sia dovuto alla simmetria rispetto al centro di oscillazione. Penso che sia dovuto all'uniformità della frequenza e del periodo che sono costanti. Insomma si può pensare ad un'oscillazione a frequenza costante o variabile, come a un moto a velocità costante (uniforme) o variabile.
Siccome penso poi che il punto 2. sia più complicato e che il campo generato da un filo carico si trova su quasi tutti i manuali, vorrei dare i miei risultati su campo e potenziale per confrontarli e vedere se ho commesso errori nella prima parte del punto 1. prima di confrontarci sul punto 2.
1. Il campo generato da un filo positivo nel punto è dato da che è diretto lungo la distanza di P dal filo rappresentata dalla radice e va quindi proiettato sull'asse x moltiplicandolo per il coseno dell'angolo che l'asse forma con la distanza cioè per . Tenuto conto di due fili simmetrici positivi e dei due simmetrici negativi ma a distanza otteniamo

Integrando l'opposto del secondo membro delle uguaglianze avrei ricavato

Ci sono errori?