Forum OLIFIS

Girovagando nel forum mi è tornato in mente un antico dubbio riguardante le origini della portata R di un fluido di densità . Nella prova OliFis di livello scolastico del 2003 veniva proposto un quesito su come incrementare la portata di un fluido e la risposta corretta era ( e ancora è) aumentare la sezione del tubo o la differenza di pressione alle estremità della conduttura. La prima risposta deriva direttamente dalla formula della portata:
. La seconda è piuttosto comprensibile in modo intuitivo, ma la trattazione matematica mi sembra più ostica.
Ho pensato di combinare le formule di Bernoulli e della continuità della portata per collegare quest'ultima alla , ma non sono convinto. Questi sono i passaggi:

e
,
da cui si ha:
.
Poi sostituendo la velocità con il rapporto tra portata e sezione A, si ottiene:
,
ricordando che .
Mettendo un po' di ordine si ha
.
Apparentemente sembra tutto regolare, ma se si studia il caso di un tubo di sezione costante si nota che il radicando ha il denominatore pari a 0 e ciò implica che la portata diventi infinita. Credo sia improbabile un risultato del genere, in cui in un tubo il fluido scorra a velocità infinita o il volume sia infinito. Come si può superare questo problema? Ho commesso qualche sbaglio nelle sostituzioni?

Per quanto riguarda la tua formula il problema è matematico. Infatti quando vai a dividere per i membri dell'equazione, questo termine deve essere necessariamente diverso da zero. D'altronde se hai velocità costante nei due tratti di condotto presi in considerazione e l'equazione ti si semplifica prima, dandoti la nota legge di Stevino.

In ogni caso conviene che metta un po' d'ordine nei passaggi che fai e che, come suggerisce la soluzione, fissi tutti i parametri tranne la differenza di pressione (fissando la pressione da una parte e non dall'altra).

Per non complicarci la situazione fissiamo il tubo ad un'altezza precisa e costante in modo da lasciar stare le differenze di energia potenziale. Fissiamo la sezione del tubo preso in considerazione. In questo tratto la pressione è uguale ovunque, e così anche la velocità . Fissiamo anche la pressione nel successivo tratto di tubo (di sezione qualsiasi). Ora andiamo a vedere cosa succede variando la pressione nel precedente tratto di tubo, di sezione qualsiasi (ma diversa da ).
Per la continuità:



Per Bernoulli:



Se ricaviamo dalla prima equazione e lo sostituiamo in Bernoulli otteniamo:



con costanti e, precisamente, , se e se .

Il caso mi è chiaro: aumentando aumenta la velocità. E questa è la soluzione del quesito

Ma se la velocità aumenta diminuendo in modo da rendere l'oggetto tra parentesi il più negativo possibile.

Mi sorge quindi il dubbio: vorrebbe dire che non è possibile avere per avere il liquido che scorre nella direzione descritta (cioè da p_0 a p e a p_1) ? Il quesito è impreciso? O dimentico qualcosa nelle limitazioni (cosa più probabile)? O forse non vale il trucchetto di mettere la costante c? Non saprei.

Non sono sicuro di cosa significhino le lettere e c che hai introdotto nel calcolo. A me esce questa situazione:
.

Quindi suppongo che ,

ma non riesco a collegare alla .
Oltretutto come fa la densità diviso due ad essere negativa se è quello che credo di capire dal tuo messaggio?
Un'ultimo dubbio riguarda la pressione variabile nel secondo punto del tubo considerato: perchè solo qui c'è cambiamento di pressione mentre resta fissa?
Oggi sembra proprio essere il festival del dubbio dalle mie parti, anche se lo scienziato James Kakalios dice che in fisica sono più importanti le domande delle risposte... E anche qui sorge qualche incertezza.

Ho semplicemente sostituito e ricavato , non ho detto di aver messo di mezzo la portata. Tra l'altro la tua equazione non è dimensionalmente corretta, mi sa che hai sbagliato qualche calcolo .

Comunque se ci concentriamo solo sui tratti di tubo precedente e successivo (di sezioni e ) e lasciando stare le variazioni di quota, otteniamo la prima equazione che hai scritto (se volevi far questo non l'avevo capito perchè non avevi specificato a che si riferissero A e B), ovvero:



Se tende ad sappiamo che tende a e, dall'equazione Bernoulli, che anche tende a . Quindi la portata non tende a infinito ma è semplicemente indefinita.

Grazie mille per il chiarimento .
Chiedo venia per non aver specificato all'inizio che i pedici A e B si riferiscono a due diverse sezioni di un tubo,
ma comunque il discorso è chiaro... A parte una cosa: controllando le dimensioni della formula finale della portata al quadrato che hai scritto mi sa che c'è qualche problema:
il risultato esce in , mentre ci dovrebbero essere i .
Ovviamente mi pare che la stessa situazione si verifichi anche nella prima formula che ho postato io (pure togliendo di mezzo la differenza di altezza).
O si tratta di un altro abbaglio?

Credo sia proprio un abbaglio.. ti scrivo le dimensioni usando lo stesso ordine della mia equazione:

All right now. Grazie per la correzione!