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Uno skater (massa ) percorre un half-pipe con sezione semicircolare e raggio . Il suo baricentro si trova a dalla pista. Parte da fermo dal punto in alto a sinistra (punto A) e arriva nel punto più basso B.

a) Qual è la velocità del ragazzo in B?
b) Che accelerazione agisce sul ragazzo in B? Quanto vale la reazione della pista?

In B, il ragazzo alza il suo baricentro a , e prosegue fino al punto in alto a destra D.

c) Qual è la velocità del ragazzo in D?
d) A che altezza da terra giunge il ragazzo?

e) Supponendo il ragazzo come un corpo rigido, una volta staccatosi dalla pista, può modificare la traiettoria del proprio centro di massa e la propria velocità di rotazione?

Per la velocità si impone la conservazione dell'energia: ,
dove abbiamo fissato al fondo del tubo lo zero del potenziale gravitazionale.
L'accelerazioni netta è quella centripeta: quindi la reazione del pavimento vale .
Fin qui tutto molto standard. La parte che segue ricorda un po' il problema di Senigallia di qualche anno fa sull'altalena.
Il momento angolare dello skater rispetto al centro del semicerchio si conserva nell'istante in cui questo alza il suo baricentro: tutte le forze esterne agenti (peso e reazione) sono radiali, quindi si impone
da cui
È chiaro che l'energia meccanica non si è conservata in questa transizione: lo skater ci ha messo un po' della sua energia interna compiendo "pseudolavoro" contro la forza centrifuga (nel suo riferimento ovviamente).
Quindi l'energia meccanica totale vale

e permette di raggiungere un'altezza pari a

un metro e mezzo oltre il limite del tubo.
Quindi l'energia "in più" fornita dallo skater è , ed è precisamente l'energia che questo avrà una volta arrivato in D. Si ha quindi


Dopo il distacco sul centro di massa del ragazzo agisce solo la gravità, quindi il moto è balistico e completamente determinato al momento del distacco (ignorando l'aria ovviamente, che comunque può fare poco su queste brevi distanze credo). In compenso, modificando il suo momento d'inerzia, il ragazzo può variare la sua velocità angolare attorno al centro di massa.
Notiamo che nessun risultato dipende dalla massa.

Ippo ha scritto:In compenso, modificando il suo momento d'inerzia, il ragazzo può variare la sua velocità angolare attorno al centro di massa.

Che del resto è quello che fanno gli skater (e anche snowboarder) professionisti quando nelle halfpipe per i "trick" con un numero considerevole di rotazioni (720º, in alcuni rari casi anche 900º) assumuno una conformazione più raggruppata... come nel mitico esempio (presente penso in ogni libro di fisica dai tempi di Newton) della pattinatrice che stende le braccia lungo i fianchi

MrTeo ha scritto:Che del resto è quello che fanno gli skater (e anche snowboarder) professionisti quando nelle halfpipe per i "trick" con un numero considerevole di rotazioni (720º, in alcuni rari casi anche 900º) assumuno una conformazione più raggruppata... come nel mitico esempio (presente penso in ogni libro di fisica dai tempi di Newton) della pattinatrice che stende le braccia lungo i fianchi

esatto, un classico
L'accelerazione improvvisa sul fondo del tubo, per la cronaca, è spiegata (nel sistema di riferimento dello skater) dall'azione della forza di Coriolis, che risponde alla velocità radiale (aquisita per un istante dal c.d.m. dello skater nel cambiare altezza - ovviamente nella realtà tutto avviene in un certo tempo finito) con un'accelerazione tangenziale diretta in modo concorde alla velocità.

Buono. Questo dovrebbe essere andato bene (forse perché era una boiata? )