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Una mole di un gas perfetto monoatomico è portata da uno stato iniziale di pressione $p$ e volume $V$ ad uno stato finale di pressione $2p$ e volume $2V$ attraverso due processi diversi, entrambi reversibili:
I) Prima si espande isotermicamente fino a raddoppiare il volume poi, a volume costante, si fa crescere la pressione fino al valore finale.
II) Si comprime dapprima isotermicamente finchè la pressione raddoppia e poi, a pressione costante, si lascia espandere fino al volume finale.
Calcolare per ciascun processo:
a) Il calore assorbito dal gas in ogni trasformazione.
b) Il lavoro fatto dal gas lungo ciascuna delle trasformazioni eseguite.
c) La variazione dell'energia interna $\Delta U$
d) La variazione dell'entropia del gas $\Delta S$

Tratto dall'Halliday

Rigel ha scritto:I) Prima si espande isotermicamente fino a raddoppiare il volume poi, a volume costante, si fa crescere la pressione fino al valore finale.

Se la frase in grassetto si riferisce a un valore di pressione pari a $2p$ , al termine dei due processi la pressione finale risulta $4p$ e non $2p$

I processi I e II sono due vie alternative che portano entrambe allo stesso stato finale, caratterizzato dai valori $2p$ e $2V$

Il problema infatti chiede di calcolare il calore assorbito dal gas e il lavoro compiuto in ognuno dei due processi, visto che sono composti da trasformazioni diverse.
Se risulta poco chiaro posso postare uno schizzo delle trasformazioni nel piano p-V

è possibile che nel primo caso $L=pV\ln 2$ e nel secondo $L=pV(3-\ln 2)$ ?

Processo I)

La quantità di calore assorbita dal gas durante la trasformazione isotermica è
$Q_1=RT\ln 2=pV\ln 2$
Il calore assorbito durante la trasformazione isocora è
$Q_2=C_v\Delta T$
Dall'equazione dei gas perfetti si ricava che $\Delta T=3T$
Il calore totale assorbito quindi è la somma di queste due quantità.
$Q_t=Q_1+Q_2=pV\ln 2+C_v 3 T$

Il lavoro fatto dal gas durante la trasformazione isotermica è pari al calore assorbito $Q_1=pV\ln 2$
Durante la trasformazione isocora il lavoro è 0
Il lavoro totale quindi è $L=Q_1$

La variazione di energia interna $\Delta U$ è solo quella dovuta alla trasformazione isocora cioè
$\Delta U=Q_2=C_v3T$

Processo II)

La quantità di calore assorbita dal gas durante la trasformazione isotermica è
$$ Q_1'=RT\ln \frac {1}{2}=pV\ln \frac {1}{2}$
Il calore assorbito durante la trasformazione isobara è
$Q_2'=C_p\Delta T$
Dall'equazione dei gas perfetti si ricava che anche qui $\Delta T=3T$
Il calore totale assorbito quindi è la somma di queste due quantità.
$$ Q_t=Q_1'+Q_2'=pV\ln \frac {1}{2}+C_p 3 T$

Il lavoro fatto dal gas durante la trasformazione isotermica è pari al calore assorbito $$ Q_1'=pV\ln \frac {1}{2}$
Durante la trasformazione isobara il lavoro è
$$ 2p\cdot \frac {3}{2}V=3pV$

Il lavoro totale quindi è la somma dei lavori delle due trasformazioni

La variazione di energia interna $\Delta U$ è solo quella dovuta alla trasformazione isobara cioè
$\Delta U=Q_2-L_2=C_p3T-3pV$

Mi manca l'ultimo punto, ma fin qui è giusto?

Alex90 ha scritto:è possibile che nel primo caso $L=pV\ln 2$ e nel secondo $L=pV(3-\ln 2)$ ?

Sì i risultati son quelli.
@String: Tutti i risultati sono ok.
Mi son scordato di scrivere che il gas è monoatomico

. ora correggo

Punto d)
Essendo gli stati iniziale e finale gli stessi per i due processi, la variazione di entropia sarà la stessa. Calcolo quindi $\Delta S$ solo in uno dei due processi, ad esempio il primo.
Per la trasformazione isotermica la temperatura è costante quindi
$\displaystyle \Delta S_1=\frac {Q_1}{T}=\frac {pV\ln 2}{T}=\frac {RT\ln 2}{T}=R\ln 2$
Per la trasformazione isocora, si ha che il la variazione infinitesima di calore assorbito è
$\displaystyle d Q_2=nC_vd T=\frac {3}{2}RdT$
La variazione di entropia per questa trasformazione è
$\displaystyle \Delta S_2$ $\displaystyle =\int_{T}^{4T} \frac {dQ_2}{T}=\int_{T}^{4T} \frac {3R}{2T}d T= \frac {3R}{2}\int_{T}^{4T} \frac {dT}{T}=\frac {3R}{2}\ln \frac {4T}{T}=\frac {3R}{2}\ln 4$

La calcolatrice mi dice che $\displaystyle \frac {\ln 4}{\ln 2}=2$ quindi la variazione di entropia dell'intero processo è

$\displaystyle \Delta S$ $\displaystyle =\Delta S_1+\Delta S_2=R\ln 2+\frac {3R \cdot 2\ln 2}{2}=R\ln2 +3R\ln2=4R\ln 2$

E' giusto?

Ok perfetto!

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