SNS 2007/2008 n 1. Energia orbita ellittica

[mrossi]

Un'astronave di massa m orbita attorno a un pianeta di massa . L'orbita è ellittica con semiasse maggiore a e minore b.

(a) Si mostri che l'energia totale dell'astronave è data da



Mi trovo in difficolta su questo punto, perché non so bene da cosa bisognerebbe partire.

(b) Usando questa formula si trovi il punto dell'orbita in cui conviene accendere i motori dell'astronve per sfuggire all'attrazione gravitazionale del pianeta. Si supponga che i motori producano sullo scafo una forza costante F e che possano essere accesi per un tempo massimo t molto minore del periodo T dell'orbita.

[Fedecart]

Premetto che non ne sono certo... Ci provo...


Dove U è la potenziale e K la cinetica.


E v la trovo eguagliando la forza gravitazionale alla centripeta.


Quindi
e dalla somma con U trovo ciò che il testo chiedeva di trovare.
Tutto questo tenendo conto che le orbite ellittiche si trattano (per un motivo a me ignoto) come orbite circolari, sostituendo semplicemente al raggio il semiasse maggiore.
Esiste poi anche il Teorema del Viriale per le energie delle cose in orbita, che sveltisce molto tutti i calcoli ma meglio non usarlo per l'ammissione alla SNS sennò potrebbero chiederti di dimostrarlo all'orale, come sempre quando uno usa il cannone!

[mrossi]

Tutto questo tenendo conto che le orbite ellittiche si trattano (per un motivo a me ignoto) come orbite circolari, sostituendo semplicemente al raggio il semiasse maggiore.

Appunto, io avevo pensato come te, però non sapevo come e se è necessario motivare questa cosa.

[eli9o]

Non so quanto sia bello se all'orale ti chiedono come mai nelle orbite ellittiche basta mettere a al posto di r e trattarle come circonferenze

Un metodo alternativo potrebbe essere applicare la conservazione dell'energia e del momento angolare in 2 punti comodi: afelio e perielio, sapendo che il pianeta è in uno dei due fuochi e una proprietà dell'ellisse: ogni fuoco dista dal centro dove e è l'eccentricità e a è il semiasse maggiore. I conti sembrano diventare brutti ma alla fine si fanno.

Per il punto (b) dobbiamo fornire un' energia cinetica fissa (cioè che non dipende dalla posizione in cui accendiamo i motori). La posizione conveniente è quella che minimizza quindi che minimizza . Con costante è minimo quando è massima quindi al perielio. Là si potrebbe giustificare un po' meglio ma è veloce. Si può fare considerando il grafico della parabola . Allora e .

[Fedecart]

Non so quanto sia bello se all'orale ti chiedono come mai nelle orbite ellittiche basta mettere a al posto di r e trattarle come circonferenze

Già arrivarci all'orale è improbabile per me...! E comunque in quel caso avrei un pochino di tempo in più dopo, per scoprire perchè funziona ugualmente usando a e trattandole come circonferenze!

[CoNVeRGe.]

E v la trovo eguagliando la forza gravitazionale alla centripeta.

Questo credo sia sbagliato perchè praticamente scrivi che la forza gravitazionale ha la stessa direzione della forza centripeta. Ma questo vale solo quando il punto che si prende in considerazione è il perielio o l'afelio (come si chiamano questi punti per una massa che non sia il sole ?), ma tuttavia in questi punti l'equazione sarebbe comunque sbagliata perchè non ci troviamo a studiare un'orbita circolare.

Il procedimento da fare è sfruttare qualche proprietà dell'ellisse, come ad esempio il procedimento di eli90.

[Davide90]

Per il punto (b) dobbiamo fornire un' energia cinetica fissa (cioè che non dipende dalla posizione in cui accendiamo i motori). La posizione conveniente è quella che minimizza quindi che minimizza . Con costante è minimo quando è massima quindi al perielio. Là si potrebbe giustificare un po' meglio ma è veloce. Si può fare considerando il grafico della parabola . Allora e .

Si può dire che dopo la dimostrazione con afelio e perielio corretta, possiamo assimilare il moto a uno circolare con raggio ?
Dunque per la conservazione dell'energia cinetica è costante, quindi è minimo se è massimo.
Altrimenti Elio come fai a dire che è costante?

[Loren Kocillari89]

Non so quanto sia bello se all'orale ti chiedono come mai nelle orbite ellittiche basta mettere a al posto di r e trattarle come circonferenze

Un metodo alternativo potrebbe essere applicare la conservazione dell'energia e del momento angolare in 2 punti comodi: afelio e perielio, sapendo che il pianeta è in uno dei due fuochi e una proprietà dell'ellisse: ogni fuoco dista dal centro dove e è l'eccentricità e a è il semiasse maggiore. I conti sembrano diventare brutti ma alla fine si fanno.

Per il punto (b) dobbiamo fornire un' energia cinetica fissa (cioè che non dipende dalla posizione in cui accendiamo i motori). La posizione conveniente è quella che minimizza quindi che minimizza . Con costante è minimo quando è massima quindi al perielio. Là si potrebbe giustificare un po' meglio ma è veloce. Si può fare considerando il grafico della parabola . Allora e .

Più semplicemente. Se vai in afelio poni che l'energia potenziale in quel punto dipende da a, l'energia cinetica la si può trovare considerando l'afelio come un punto in cui è tangente una circonferenza di raggio a, e questo lo si può considerare per semplicità. Dopodichè, per generalizzare è facile, basta usufruire della conservazione dell'energia. Se in altri punti la distanza fosse diversa l'energia totale non si conserverebbe e allora addio campo conservativo! Il che è assurdo

[mrossi]

Un metodo alternativo potrebbe essere applicare la conservazione dell'energia e del momento angolare in 2 punti comodi: afelio e perielio, sapendo che il pianeta è in uno dei due fuochi e una proprietà dell'ellisse: ogni fuoco dista dal centro dove e è l'eccentricità e a è il semiasse maggiore. I conti sembrano diventare brutti ma alla fine si fanno.

Come vanno impostati? Scusate l'ignoranza..

[eli9o]

@ davide: costante nel senso che è la stessa in ogni punto dell'orbita. L'energia da fornire (sotto forma di energia cinetica) non dipende da dove accendi i motori , è quella che manca al sistema per raggiungere 0. La scriviamo come quindi non dipende da dove accendi i motori.

@ mrossi: conservazione del momento angolare (ovvero Keplero II) ti dice (i pedici a e p stanno per afelio e per perielio).
Per le proprietà dell'ellisse mentre .
Poi imponi che, con le opportune sostituzioni, dovrebbe essere

Ti ricavi poi scrivi e con "alcuni" passaggi algebrici ottieni la tesi.

Non ho ritrovato il foglio dove ho fatto l'esercizio e stavolta non ho portato in fondo i conti, può darsi che abbia messo qualche segno sbagliato ma il procedimento credo fosse quello.