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Un condensatore a lastre piane, perfettamente conduttrici, con distanza di separazione
`e riempito con due strati di materiale (1) e (2). Il primo materiale ha
una costante dielettrica , conducibilita' , il secondo ha costante dielettrica , conducibilita' ed i loro spessori sono rispettivamente e . Un potenziale e' applicato ai capi del condensatore.

(a) Trascurando gli effetti di bordo calcolare il campo elettrico nel materiale (1) e (2).
(b) Quanto vale la densit`a di corrente che passa attraverso il condensatore?
(c) Quanto vale la densit`a totale di carica all’interfaccia tra il materiale (1) e (2)?

a) La densità di corrente a regime deve essere la stessa nei due mezzi perché altrimenti si creerebbe un accumulo di carica indefinitamente crescente all'interfaccia (in pratica è la legge dei nodi di Kirchoff).
La forma della legge di Ohm (la conducibilità s è il reciproco della resistività del mezzo) ci dice che
e
ma sappiamo anche che quindi ricaviamo

da cui
b)
c) Detta la densità superficiale di carica sulle facce del condensatore e quella all'interfaccia, si ha per la legge di Gauss

da cui

Sottraendo la prima equazione alla seconda otteniamo infine

Se la carica all'interfaccia è dello stesso segno di quella sulla faccia a contatto con (1), altrimenti viceversa.
Notiamo inoltre che se allora la carica all'interfaccia è nulla, e infatti si ha cosicché il che è coerente col fatto che c'è un campo di induzione elettrica D uniforme tra le due facce tale che

Come fai ad applicare Gauss nel terzo punto, sapendo che il conduttore e' attraversato da una corrente, e quindi le cariche non sono solamente sull'interfaccia? Cioe', quel metodo io lo avrei usato per calcolare la densita' in un non-conduttore polarizzato...

Beh certo se i mezzi fossero isolanti sarebbe un problema molto più standard.
Credo che Gauss possa valere anche in questo caso. La corrente non dovrebbe influenzare il campo elettrico, il contenuto netto di portatori di carica nel mezzo non cambia. Il fatto che queste siano in movimento non influenza il campo finché le velocità non sono relativistiche. La cosa un po' problematica è che che ho supposto uguale sulle due facce dovrebbe avere invece due valori distinti (altrimenti si crea un eccesso di carica all'interfaccia).

Probabilmente non mi sono spiegato bene, o non capisco quello che dici (d'altronde sono nuovo, devo fare esperienza ) Io stavo dicendo che applicando Gauss forse si dovrebbe considerare anche la carica in eccesso all'interno del conduttore (che dovrebbe essere costante, dato che j e' costante); pensavo che questa, indipendentemente dall'essere in moto o ferma, dovesse generare un campo...

Ratman ha scritto: applicando Gauss forse si dovrebbe considerare anche la carica in eccesso all'interno del conduttore

Infatti i campi elettrici che ha calcolato sono differenze di tre campi elettrici dovuti a piani uniformemente carichi (le due armature e l'interfaccia), è la densità di carica sulle facce del condensatore.

Si', quello che non capisco e' perche' le cariche non siano anche all'interno del conduttore...

Ok avevo capito male

Credo che il fatto che scorra una corrente costante non abbia ripercussioni sulla posizone delle cariche in eccesso, visto che si raggiunge una situazione di equilibrio dinamico. Le cariche in eccesso son disposte ai lati dei materiali come in un normale condensatore con dielettrico.

CoNVeRGe. ha scritto:Ok avevo capito male

Credo che il fatto che scorra una corrente costante non abbia ripercussioni sulla posizone delle cariche in eccesso, visto che si raggiunge una situazione di equilibrio dinamico. Le cariche in eccesso son disposte ai lati dei materiali come in un normale condensatore con dielettrico.

Esatto. Puoi vedere la cosa in questo modo, se ti risulta più comodo: c'è un volume fisso con una certa densità di carica positiva uniforme, che sarebbe il conduttore coi suoi ioni positivi; sovrapposto a questo c'è un volume con densità di carica uguale e opposta che scorre a velocità costante rispetto all'altro (sarebbero gli elettroni di conduzione). Il contenuto netto di carica è nullo.

Tornando alla questione dell'eccesso di carica, supponiamo che le densità sulle facce siano diverse, diciamo e . Per un bilancio complessivo nullo deve essere:
Si ha dunque e da cui

Sostituendo le espressioni per i campi:

che è lo stesso risultato di prima, ma stavolta segue da un ragionamento corretto

Ok, perfetto, avevo pensato anche io al bilancio di carica per risolvere il terzo punto; il mio dubbio riguardava il fatto che ci potessero essere cariche in eccesso pure all'interno...
Grazie mille per la pazienza!