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Un recipiente di volume V = 40 litri, termicamente e meccanicamente isolato dall’esterno, è diviso in due parti di volumi e , contenenti rispettivamente 0.5 moli di alla temperatura e una mole di alla temperatura . I due gas vengono considerati come gas ideali, e quindi le capacità termiche a volume costante di una grammolecola sono uguali.

Il setto divisorio, inizialmente bloccato, è permeabile al calore. Sempre a partire da queste condizioni iniziali,
(a) determinare lo stato finale dei due gas se il setto divisorio viene mantenuto bloccato;
(b) determinare lo stato finale dei due gas, se il setto divisorio viene lasciato libero di spostarsi;
(c) determinare lo stato finale dei due gas, se nel setto divisorio, bloccato, viene praticato un foro.
(d) Senza calcolarla esplicitamente, dire in quale dei tre suddetti casi l’entropia dello stato finale è maggiore e in quale è minore.

Ecco come l'ho risolto (o almeno suppongo di averlo fatto ):

a.
Dato che il setto è bloccato e permeabile al calore i volumi rimarranno costanti, le pressioni non influenzano l'equilibrio e l'unica cosa che alla fine deve risultare uguale tra i due gas è l'energia interna, quindi [indico con 1 la sezione contenente ossigeno molecolare e con 2 quella contenente azoto]:



Abbiamo quindi una media pesata (come suggerisce anche la nota relativa alle capacità termiche di una mole). Le pressioni si ottengono con l'equazione di stato:



b.
In questo caso all'equilibrio sia le energie interne che le pressioni devono essere uguali, quindi possiamo scrivere:



Per la temperatura valgono le stesse considerazioni fatte al primo punto: entrambi i gas all'equilibrio sono a 400 K. Le pressioni infine si trovano applicando ancora l'equazione di stato (non ho utilizzato i valori approssimati qui perché altrimenti ci sarebbe stata una piccola discrasia nei valori che invece sono uguali):



c.
Nell'ultimo caso è chiaro che il foro è abbastanza grande per permettere la diffusione dei due gas senza muovere il setto. La temperatura è, come nei due punti precedenti, 400 K e i gas occupano tutto il volume disponibile, quindi 40 L. La pressione si ottiene dalle equazioni di stato e volendo si può calcolare anche la pressione totale del sistema applicando la legge di Dalton:



E si vede anche che il valore della pressione totale in questo caso è il medesimo della pressione all'equilibrio.

d.
Per quanto riguarda la maggiore entropia direi sicuramente il caso c., più per considerazioni qualitative sul disordine della miscela che per altro (negli altri due casi i gas restano comunque separati). Per quanto riguarda lo stato con minore entropia ho diversi dubbi, mi sembra quasi che a. e b. abbiano la stessa variazione... quindi lascio a qualcun'altro l'ultima parola (magari a qualcuno che ha voglia di stimare le variazioni ). A naso direi a., ma è più una questione di intuito che una vera ragione, forse per il fatto che, se non consideriamo le due espansioni reversibili, comunque la variazione di entropia è positiva, mentre nel primo caso potrebbe essere pari a 0.

Secondo me puoi dire che l'entropia in (a) è minore perché se da quello stato lasci libero di muoversi il setto vai spontaneamente in (b) e l'entropia cresce.

eli9o ha scritto:Secondo me puoi dire che l'entropia in (a) è minore perché se da quello stato lasci libero di muoversi il setto vai spontaneamente in (b) e l'entropia cresce.

Mi pare un'ottima soluzione... il sistema in effetti si sposta verso lo stato più probabile