SNS 2001/2002 n 1

[mrossi]

E’ dato un satellite di massa m = 103 kg in un’orbita circolare geostazionaria (cio`e ruota su un’orbita equatoriale con la stessa velocità angolare della Terra). Il satellite dispone di opportuni razzi che possono modificarne la velocità ma non la direzione. L’azione dei razzi è istantanea (cioè agiscono per un tempo molto breve).

1° caso. Mediante i razzi si vuole allontanare definitivamente il satellite dalla Terra.

a) Calcolare la minima variazione di quantità di moto che i razzi devono imprimere al satellite e il lavoro fatto da essi sul satellite.

2° caso. Ora invece, sempre utilizzando opportunamente i razzi, si vuole riportare il satellite (in orbita geostazionaria) sulla Terra. Si ignori l’effetto dell’atmosfera.

b) Dopo l’azione (istantanea) dei razzi, quale traiettoria deve percorrere il satellite affinchè arrivi tangente alla superficie terrestre?

c) Calcolare, facendo uso della terza legge di Keplero, il tempo che impiega il satellite a raggiungere la Terra, dal momento in cui vengono azionati i razzi.

d) Calcolare la velocità relativa al suolo con cui il satellite arriva sulla Terra.

N.B. Si utilizzino soltanto le opportune leggi di conservazione e per i calcoli numerici non si faccia uso della costante gravitazionale G, ma dell’accelerazione di gravità g al suolo e del raggio della Terra

[Ippo]

1° caso
Velocità nell'orbita geostazionaria:
(è noto che )
Velocità di fuga a distanza R dal centro della Terra:
(deve essere )
Variazione di quantità di moto:

Sapendo che (l'orbita è geostazionaria) si ricava dalla terza legge di Keplero
da cui

Ora quindi e l'espressione si scrive


2° caso:
b) Per arrivare tangente alla superficie terrestre il satellite deve trovarsi a distanza dal centro della Terra su una traiettoria ortogonale al raggio (vettore) terrestre; poiché all'accensione dei razzi la seconda condizione è soddisfatta, il punto di accensione e il punto di atterraggio saranno apogeo e perigeo di un'orbita ellittica. Si tratta quindi di un'ellisse di semiasse maggiore .
c) Si tratta di un semiperiodo. Keplero fornisce
d) Si impongono le conservazioni di energia e momento angolare nelle incognite (velocità all'apogeo, subito dopo l'accensione dei razzi) e (velocità all'atterraggio):

[mrossi]

Il primo punto era facile
non hai messo la formula del lavoro, che credo sia pari alla variazione di energia del satellite.

Nel secondo avevo azzeccato l'orbita, ma non sapevo giustificarla rigorosamente. La motivazione che hai fornito tu dici che è sufficiente per il test SNS o va specificata meglio?

[Ippo]

mah, si può sempre fare di meglio , però credo di sì. In pratica si dà per scontata una proprietà geometrica dell'ellisse, cioé che le uniche circonferenze centrate in un fuoco e tangenti ad essa sono quella che la tange internamente nel perielio e quella che la tange esternamente nell'afelio. È un fatto puramente geometrico, spero che per un test di fisica si accontentino
tra l'altro è un fatto fisico abbastanza noto questo dell'oribta di raccordo tra due circonferenze, è stato dato in diversi problemi sns e olifis.

quanto al lavoro non ci avevo proprio fatto caso, comunque sì, è la differenza delle energie cinetiche, ma anche delle energie in generale; in particolare si deve passare da a quindi
si sostituisce R ed è finita.

[Ippo]

Una dimostrazione piuttosto immediata (e poco formale, adatta forse ad un test di fisica ) di quel fatto può essere questa:
è noto (come suggeriscono le etimologie dei termini ) che l'afelio è il punto più lontano dal Sole (=dal fuoco) e il perielio è quello più vicino; allora tutte le circonferenze centrate nel fuoco con raggio minore della distanza fuoco-perielio, diciamo R<d (o maggiore della distanza fuoco-afelio, diciamo R>D) non possono intersecare l'ellisse, altrimenti questa conterebbe un punto più vicino al fuoco del perielio (o più lontano dal fuoco dell'afelio), assurdo; d'altro canto le circonferenze di raggio compreso tra questi due valori, diciamo d<R<D, contengono di sicuro almeno un punto esterno ed un interno all'ellisse (quelli sull'asse maggiore dell'ellisse stessa) per definizione, quindi queste circonferenze sono secanti rispetto all'ellisse e non tangenti. Le circonferenze tangenti possono essere solo quelle i cui raggi non appartengono agli intervalli così esclusi (R<d, d<R<D e R>D), ovvero quelle per cui R=d o R=D. E in effetti si verifica che queste vanno bene.