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Macchine termiche che lavorano in contatto con sorgenti a capacità finita deviano dalla condizione ideale di funzionamento: ci si aspetta che la loro efficienza ne risenta.
1. Determinare il rendimento massimo di una macchina termica che opera in contatto con due bagni termici. Quello freddo si trova ad una temperatura mentre quello caldo, inizialmente ad una temperatura , ha una capacità termica finita . Mostrare che questo rendimento è minore di quello della corrispondente macchina ideale che lavori fra e .
2. Si consideri una macchina di Carnot che operi fra due temperature e . La macchina può assorbire calore solamente da una sorgente posta inizialmente ad una temperatura iniziale e con capacità termica finita . Determinare il valore della temperatura affinchè il lavoro eseguito dalla macchina sia massimo.
3. Considerare ora il caso in cui la sorgente a temperatura della domanda precedente una volta disconnessa dalla macchina termica operante fra le temperature e venga messa in contatto con una seconda macchina termica anch'essa ideale come la prima ma operante fra le temperature e . Trovare i valori e che massimizzano il lavoro estraibile dal sistema.

Premetto di aver capito davvero poco il testo del problema.
1) Non è specificato nel primo punto se la macchina che opera sia una macchina di Carnot, ma altrimenti non vedrei come poter legare il rendimento di una macchina qualunque semplicemente con la temperatura delle sorgenti, posto quindi i l risultato che ho ottenuto per una macchina di Carnot, fermo restando che se qualcuno riesce a dimostrarlo per una macchina qualsiasi sarà sicuramente la sua la soluzione corretta.
Per una macchina di Carnot : cioè
Integrando il primo tra 10 Tf e Tf si ottiene . Il calore assorbito vale (dato che la macchina continuerà a funzionare finché non si stabilisce l'equilibrio termico tra Tc e Tf, che rimane costante) il lavoro vale e il rendimento . Una macchina di Carnot ideale operante tra le stesse temperature avrebbe un rendimento maggiore di quello della macchina con T_c a capacità termica finita.

Per il punto due non ho capito una cosa: una normale macchina di Carnot assorbe calore dal serbatoio caldo e lo trasferisce al serbatoio freddo, ma se la macchina può assorbire calore solo da una terza sorgente a temperatura Ts a cosa serve la sorgente a temperatura Tc? oppure Ts è la temperatura iniziale del serbatoio caldo?

Io vedrei così il punto 1. La macchina termica, secondo me, può essere reale o ideale ma sicuramente, come ogni macchina, deve essere CICLICA: altrimenti non si potrebbe parlare di rendimento perchè interverrebbe la variazione di energia interna.
La capacità termica è la derivata rispetto alla temperatura della quantità di calore ceduta dalla caldaia (bagno caldo), inizialmente a temperatura , cioè per cui integrando fra e si ottiene la quantità di calore che è stata ceduta dalla caldaia - che quindi si è portata alla temperatura T - alla macchina che l'ha assorbita. Nel suo funzionamento ciclico la macchina ha usato parte di questa quantità per produrre il lavoro ed ha scaricato il rimanente nel bagno freddo a temperatura . Il suo rendimento è stato pertanto che rappresenta il valor massimo del rendimento alla temperatura ed è riferito al caso che la macchina termica del testo fosse ideale reversibile. Si osserva che a sua volta , cioè del rendimento della macchina ideale che lavora fra e ,come dovevasi mostrare.

Il rendimento (secondo memebro della disequazione) che hai scritto vale solo per le macchine di Carnot e quello che tu hai scritto al primo membro è il generico rendimento di una macchina termica, non capisco quindi come hai sfruttato il fatto che sia presente una capacità termica finita e come si dimostra che è minore del rendimento della stessa macchina termica con serbatoi a capacità infinita.

Gabry ha scritto:

Il rendimento (secondo memebro della disequazione) che hai scritto vale solo per le macchine di Carnot e quello che tu hai scritto al primo membro è il generico rendimento di una macchina termica, non capisco quindi come hai sfruttato il fatto che sia presente una capacità termica finita e come si dimostra che è minore del rendimento della stessa macchina termica con serbatoi a capacità infinita.

Infatti è quello di una macchina ideale - chiamala di Carnot - che lavora fra e . La macchina termica del testo può essere qualsiasi, reale o ideale. Se riceve, come riceve, una certa Q da una sorgente che, dopo avergliela data si trova alla temperatura T (non più : ecco come sfrutto che essa ha capacità finita C, vedi l'espressione di Q in funzione di C) essa usa una parte di questa Q per compiere lavoro ed una parte q la scarica nel refrigerante - come fa ogni macchina ciclica. Il suo rendimento è quindi quello che tu chiami "generico" ed è , dove come è noto vale il segno di < se la macchina è reale e vale il segno di = se la macchina è ideale (di Carnot). Quindi nel caso della macchina ideale di Carnot, il rendimento è massimo fra e e questo bisognava determinare. E' ovvio che si tratta di un rendimento dipendente da T, temperatura compresa fra e , dipendente dalla Q che si considera entrata nel ciclo. Se lo si confronta con quello di una macchina ideale di Carnot che funziona fra e è facile vedere che è minore e questo si doveva mostrare. Insomma bisognava trovare il rendimento massimo quando la sorgente è a capacità finita ed è . Si doveva poi mostrare che esso è minore di quello con sorgente a capacità infinita. Tutto qui.

Continuo a non capire, è ovvio che il rendimento di una qualunque macchina termica è minore di quello di una macchina di Carnot, quello che si chiedeva di dimostrare è prese due macchine (o entrambe di Carnot o dello stesso tipo) che operano tra due temperature la prima con il serbatoio a capacità finita e la seconda con il serbatoio a capacità infinita hanno rendimenti una minore dell'altra.
Riguardando bene quello che hai scritto non capisco nemmeno questo:

modesto ha scritto:

il rendimento di una macchina qualsiasi è minore della macchina di Carnot operante tra le stesse temperature iniziali e non tra la temperatura reaggiunta dopo che è stata sottratta una certa quantità di calore quindi comparirebbe T_c e non T.
Inoltre il rendimento (medio, nel caso della macchina con un serbatoio a capacità finita il rendimento diminuisce ad ogni ciclo) non può essere

modesto ha scritto:dipendente dalla Q che si considera entrata nel ciclo

altrimenti tra due macchine di Carnot (cioè che possiedono il massimo del rendimento della loro "categoria" sia essa a capacità finita o non) non è una dimostrazione che tiene dato che anche il lavoro è dipendente da Q (non si può dire sicuramente è minore perchè la capacità è finita, bisogna dimostrarlo).

Gabry ha scritto:Continuo a non capire, è ovvio che il rendimento di una qualunque macchina termica è minore di quello di una macchina di Carnot, quello che si chiedeva di dimostrare è prese due macchine (o entrambe di Carnot o dello stesso tipo) che operano tra due temperature la prima con il serbatoio a capacità finita e la seconda con il serbatoio a capacità infinita hanno rendimenti una minore dell'altra.
Riguardando bene quello che hai scritto non capisco nemmeno questo:

modesto ha scritto:

il rendimento di una macchina qualsiasi è minore della macchina di Carnot operante tra le stesse temperature iniziali e non tra la temperatura reaggiunta dopo che è stata sottratta una certa quantità di calore quindi comparirebbe T_c e non T.
Inoltre il rendimento (medio, nel caso della macchina con un serbatoio a capacità finita il rendimento diminuisce ad ogni ciclo) non può essere

modesto ha scritto:dipendente dalla Q che si considera entrata nel ciclo

altrimenti tra due macchine di Carnot (cioè che possiedono il massimo del rendimento della loro "categoria" sia essa a capacità finita o non) non è una dimostrazione che tiene dato che anche il lavoro è dipendente da Q (non si può dire sicuramente è minore perchè la capacità è finita, bisogna dimostrarlo).

Ma scusa anche quando fai un ciclo di Carnot prelevi Q alla temperatura della sorgente, che non cambia la propria temperatura(isoterma), poi c'è l'adiabatica, l'isoterma alla temp. del refrigerante e l'altra adiabatica che riporta il fluido alla temperatura iniziale. Nei casi di sorgente a capacità finita - per come la vedo io - tu prelevi Q e con ciò la temperatura della sorgente (e del fluido, bada bene) scende da quella iniziale della quantità Q/C fino a quella che ho indicato con T. Poi il ciclo di Carnot o quello di una macchina reale è identico a prima. Si tratta di vedere quanto lavoro si compie (Q-q) ,che è massimo se usi Carnot, e il rendimento, ancora massimo per quella T se usi Carnot. Non c'è nulla di strano che il rendimento dipenda da T che ora è la vera temperatura iniziale del ciclo sia della sorgente che del fluido.
Questo rendimento è massimo se usi Carnot fra tutte le macchine che possano operare con temp. iniziale T raggiunta dopo aver prelevato Q. Tuttavia esso è minore di quello che si avrebbe usando Carnot con una sorgente a capacità infinita che avesse la temperatura iniziale di quella a capacità finita. Infatti nel punto 2. io sceglierei per proprio la temperatura raggiunta da S e dal fluido DOPO che è stata prelevata Q. Siccome c'è Carnot il lavoro eseguito con Q risulta MASSIMO rispetto alle altre macchine.

modesto ha scritto:Questo rendimento è massimo se usi Carnot fra tutte le macchine che possano operare con temp. iniziale T raggiunta dopo aver prelevato Q.

Il rendimento di una macchina di Carnot è espresso nella forma perchè vale la relazione combinata con il rendimento di una macchina termica generica . Nel caso in cui la temperatura non sia costante quando viene prelevato il calore, calcolando il rendimento, non puoi semplicemente prendere la temperatura finale dopo che è stato prelevato il calore, ma devi integrare considerando che , quindi , in pratica come ho fatto io.

Gabry ha scritto:

modesto ha scritto:Questo rendimento è massimo se usi Carnot fra tutte le macchine che possano operare con temp. iniziale T raggiunta dopo aver prelevato Q.

Il rendimento di una macchina di Carnot è espresso nella forma perchè vale la relazione combinata con il rendimento di una macchina termica generica . Nel caso in cui la temperatura non sia costante quando viene prelevato il calore, calcolando il rendimento, non puoi semplicemente prendere la temperatura finale dopo che è stato prelevato il calore, ma devi integrare considerando che , quindi , in pratica come ho fatto io.

Ma è costante per cui sicchè non va bene.
Comunque ho fatto autocritica in queste ultime ore e sono giunto alla conclusione che il mio rendimento massimo è errato perchè non tiene conto che la Q assorbita quando passa da a T non è tutta alla temperatura T ma lo è solo alla fine. Allora considero nel diagramma di Clapeyron le tre isoterme , dove al solito T dipende dalla quantità Q che si preleva essendo al solito . Considero poi due cicli ideali reversibili a partire dalle stesse condizioni iniziali individuate da : uno è quello di Carnot, due isoterme e due adiabatiche da a e viceversa assorbendo e cedendo . La prima adiabatica incontra l'isoterma T in un certo punto che è il secondo estremo della trasformazione che conduce nel nostro caso dalle condizioni iniziali fino alla temperatura T assorbendo Q e che individua il secondo ciclo ideale reversibile. Esso coincide con quello di Carnot, tranne che per questa trasformazione compresa fra le isoterme invece dell'isoterma . Si vede dal diagramma che il lavoro eseguito nel caso di capacità finita pari a è minore del lavoro del ciclo di Carnot - basta confrontare le aree. Pertanto . Allora il rendimento del secondo ciclo, MASSIMO ottenibile perchè è ideale reversibile, è che è il rendimento di Carnot - come dovevasi mostrare.

modesto ha scritto:Ma T_C è costante per cui dT_C =0 sicchè non va bene.

Nel caso di una macchina termica a capacità finita Tc non è costante, era proprio la premessa per cui non andava bene la classica forma del rendimento di una macchina di Carnot.

modesto ha scritto:Si vede dal diagramma che il lavoro eseguito nel caso di capacità finita pari a L_F= C(T_C-T) - q_F è minore del lavoro del ciclo di Carnot L_C=Q_C-q_F - basta confrontare le aree.

Mi pare però che tu stia considerando che la quantità di calore ceduta al serbatoio freddo sia la stessa per tutti e due le macchine, sei proprio sicuro di questo?