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Calcolare le coordinate del centro di massa di un semicerchio omogeneo di massa M e raggio R.
Grazie per l'aiuto!!!

O lo fai con un integrale oppure usi il II teorema di Guldino (strada decisamente più comoda), che afferma in soldoni che il volume di un solido di rotazione è uguale all'area della sezione che ruota per la lunghezza della circonferenza descritta dalla rotazione del suo baricentro. Mettendo il semicerchio nel piano cartesiano come con abbiamo che il centro di massa sta ovviamente sull'asse y per simmetria; dunque il centro di massa ha coordinate .
Facendo ruotare il semicerchio (di area ) attorno all'asse x si ottiene una sfera (di volume ) e il centro di massa descrive una circonferenza di lunghezza , dunque per Guldino si ha

Se vuoi anche l'integrale eccolo qua:

sempre supponendo il raggio unitario.
La formula generica è

che segue direttamente dalla definizione di centro di massa.
In questo caso si sono usate le variabili goniometriche che sono più comode di quelle cartesiane per l'integrale.

Ippo ha scritto:Se vuoi anche l'integrale eccolo qua:

sempre supponendo il raggio unitario.

Non ho capito i passaggi geometrico-algebrici dietro la prima formula...

Calcolando il centro di massa di un'emisfera, un giorno a caso della settimana scorsa, avevo trovato quest'altro risultato, dov'è l'errore
Ho calcolato il volume di cilindri orizzontali di altezza infinitesimale e raggio :

Davide90 ha scritto: dov'è l'errore

l'errore è che quella è una semisfera e quell'altro è un semicerchio

È vero, in un solido di rotazione i punti a distanza maggiore dall'asse "creano" più volume rispetto a quelli più vicini...
Per quanto riguarda il tuo integrale però, come ci sei arrivato? L'area di un settore circolare con angolo al centro risulta : l'altezza del baricentro di questo triangolo mistilineo non si potrebbe approssimare a ? Mi manca il e qualche 2 però...

io ho fatto così: prendiamo tanti rettangoli con base parallela alla base del semicerchio e altezza infinitesima; ognuno di questi rettangoli ha base e altezza dove l'angolo è misurato rispetto alla base del semicerchio. Ora la formula per la coordinata del centro di massa è quella che ho scritto prima:

Ippo ha scritto:

se poni (l'area di ciascun rettangolino),
(l'ordinata di ogni rettangolino) e allora ottieni quella cosa lì

Ah ok, ragionavi sui rettangoli! E io che mi andavo a complicare la vita con settori circolari infinitesimi, quando avevi fatto esattamente come me... Grazie!

Pure con i settori puoi ottenere il risultato.
L’unione dei baricentri dei settori di raggio R forma una semicirconferenza di raggio . Si tratta di trovare il baricentro di questa semicirconferenza:



ossia

.

pascal ha scritto:L’unione dei baricentri dei settori di raggio R forma una semicirconferenza di raggio

Giusto, il baricentro di un triangolo mistilineo tende a quello di un triangolo, dove il baricentro divide la mediana in due parti, di cui una doppia rispetto all'altra... Non ci avevo pensato, ma funziona benissimo anche così!