Halliday&Carnot

[Julio14]

Salve salve, ho un piccolo problema riguardo alla dimostrazione che c'è sull'Halliday del fatto che non possono esistere macchine ideali con rendimento superiore a quello della macchina di Carnot. La dimostrazione è questa:

Supponiamo che un fantasioso inventore abbia realizzato un motore X, il cui rendimento voglia dimostrare essere maggiore di , il rendimento di Carnot:

Accoppiamo il motore X a una macchina frigorigena di Carnot, in modo che il lavoro prodotto dal motore X alimenti la macchina frigorigena e i due lavori, prodotto dalla prima ed usato dalla seconda, si equivalgano. Le due macchine operano fra le due stesse fonti di calore , la prima spostando calore da a e la seconda viceversa.
Ora, poiché , dove si riferisce al calore assorbito dal motore X dalla sorgente calda, e è la stessa quantità del frigorifero di Carnot quando opera come motore. Abbiamo quindi che

Applichiamo ora la prima legge della termodinamica separatamente ai due fluidi di lavoro delle due macchine. Dato che il lavoro erogato dal motore X è uguale al lavoro immesso nel frigorifero di Carnot, detti il calore ceduto dal motore a e quello preso dal frigorifero di Carnot, abbiamo

o equivalentemente

dove è il calore netto che viene trasferito a , e che è positivo per la disuguaglianza . Ma questo è un assurdo per il secondo principio della termodinamica in quanto il bilancio finale è il trasferimento di calore da una sorgente più fredda ad una più calda senza dispendio di lavoro (quello usato è creato all'interno dela macchina stessa). L'unica ipotesi fatta che può essere tolta per risolvere l'assurdo è appunto .

Ora, il mio problema è: dove si è usato che la macchina refrigerante usa un ciclo di Carnot? Se ripeto il ragionamento in modo identico con una macchina di Carnot al posto della macchina X e con la macchina refrigerante di Giulio (di rendimento inferiore) al posto di quella di Carnot, dove sbaglio nel dire che la macchina di Carnot non può avere rendimento superiore a quella di Giulio?
Le ipotesi sono 3: si è sbagliato Carnot (la vedo dura), si è sbagliato il signor Halliday o chi per lui (già più facile) o mi sono sbagliato io (estremamente più probabile)

[CoNVeRGe.]

Mmm.. secondo me è sbagliato il secondo principio della termodinamica.

[MrTeo]

Mmm.. secondo me è sbagliato il secondo principio della termodinamica.

Disfattista...
Cmq mi pare che innanzitutto il fatto di utilizzare una macchina di Carnot come ciclo frigorifero (o frigorigeno, come preferisci) serva per forza per la dimostrazione del teorema: dobbiamo dimostrare che non è possibile che , quindi dobbiamo avere una macchina di Carnot all'interno del sistema per confrontarla con la nostra "macchina ignota" X ed evidenziare l'assurdità della supposizione... Se avessimo un sistema fatto tra due macchine termiche qualsiasi non potremmo certo trarre conclusioni sul rendimento rispetto a quello ideale di Carnot...

In secondo luogo se cambiassimo il sistema di macchine termiche e una macchina di Carnot producesse calore per una seconda macchina frigorifera avremmo che (ovviamente uguagliando il lavoro prodotto dalla prima e quello necessario alla seconda) se la tua macchina frigorifera avesse rendimento maggiore della macchina di Carnot, il lavoro prodotto da essa le farebbe trasferire una quantità di calore maggiore dalla sorgente alla di quanto essa non faccia per produrre lavoro, in formule:









Come vedi il risultato è identico... e anche il procedimento

[CoNVeRGe.]

Uhm, supponiamo che la macchina frigorifera sia quella di Giulio, a rendimento quando opera come motore, e che l'altra sia quella di Carnot, a rendimento .

Se sopra al procedimento sostituisci la C con la X e la G con la C dovè l'errore del procedimento?

[CoNVeRGe.]

Come vedi il risultato è identico... e anche il procedimento

Cambia il fatto che il nuovo Q che hai calcolato è quello ceduto dalla sorgente a temperatura maggiore a quella minore.

[Pairo]

Il motivo per cui il ragionamento funziona con una macchina di Carnot e non funziona con la macchina di Giulio è che la macchina di Carnot è l'unica per cui il rendimento e il coefficiente di prestazione nel ciclo frigorifero valgono rispettivamente:





e cioè dipendono solo dalle temperature.
Prendi la prima disuguaglianza:

;

di questa ce ne faremmo poco se non sapessimo che il calore scambiato tra le due temperature dal ciclo della macchina a rendimento minore è uguale (ma cambiato di segno) a quello del ciclo inverso (quello frigorifero); e questo si può affermare solo per il ciclo di Carnot, perché il rendimento e il coefficiente di prestazione dipendono solo dalle due temperature (volendo puoi vederlo anche smanettando un po' con le formule del rendimento e del coefficiente di prestazione).
Accoppiano una macchina di Carnot e una macchina di Giulio, vedresti che la macchina di Giulio cede alla sorgente a temperatura maggiore una minor quantità di calore, in modo che il secondo principio non viene violato. Spero di essere stato chiaro..

[Julio14]

Un'ultima (spero) domanda... Perché non è possibile far operare una macchina di Giulio a ciclo inverso in modo che funga da frigorifero? Facendo il diagramma P-V vediamo che il lavoro è lo stesso in modulo, ed essendo le trasformazioni identiche ma inverse i calori in gioco sono gli stessi. A questo punto varrebbe anche qui la disuguaglianza no?

[MrTeo]

Come vedi il risultato è identico... e anche il procedimento

Cambia il fatto che il nuovo Q che hai calcolato è quello ceduto dalla sorgente a temperatura maggiore a quella minore.

Hmm... Perchè? La macchina frigorifera che ho sostituito alla Carnot frigorifera (quindi non ideale) lavora tra e e trasferisce calore dalla prima (più fredda) alla seconda...

[CoNVeRGe.]

Secondo quanto hai detto (cioè invertendo i ruoli delle macchine) sono il calore che Carnot assorbe da e il calore che X cede sempre a , quindi nulla di male, o ho capito male?

[Pairo]

Un'ultima (spero) domanda... Perché non è possibile far operare una macchina di Giulio a ciclo inverso in modo che funga da frigorifero? Facendo il diagramma P-V vediamo che il lavoro è lo stesso in modulo, ed essendo le trasformazioni identiche ma inverse i calori in gioco sono gli stessi. A questo punto varrebbe anche qui la disuguaglianza no?

Tieni presente che se la macchina di Giulio lavora con trasformazioni reversibili tra le sole due sorgenti allora il suo rendimento è uguale a una del ciclo di Carnot; per cui dobbiamo assumere che le trasfomazioni siano irreversibili. Ma allora se sono irreversibili vuol dire che "non le si può percorrere all'inidetro" (perché non si può avere variazione negativa di entropia) per cui non è possibile fare le stesse trasformazioni al contrario (pensa per esempio allo scoppio in un motore). Se si potesse allora le trasformazioni sarebbero reversibili e la macchina sarebbe equivalente ad una di Carnot (scusa se mi ripeto); se invece prendi altri cicli reversibili come quello di Stirling allora hai bisogno di più di due sorgenti di calore e il ragionamento non funziona. Spero di averti convinto che la macchina di Giulio non è stata un buon affare