Forum OLIFIS

Ecco un problema (secondo me molto carino) per il quale non mi ritrovo col risultato (confrontandomi con due discussioni nell'oliforum).
La differenza dei risultati è minima (un 3 al posto di un 5) ed è dovuta esclusivamente alla conservazione dell'energia. Sarei contento (

) se questa si discutesse anche tra chi l'ha già svolto o chi non ha intenzione di svolgerlo tutto.

Un gas monoatomico ideale scorre all’interno di un lungo tubo di sezione costante $\displaystyle A$ . Nel primo tratto del tubo, la velocità di scorrimento del gas è $\displaystyle v$ , la sua temperatura $\displaystyle T$ e la sua densità $\displaystyle \rho$ . Nel mezzo del tubo vi è un dispositivo solidale col tubo che cede al gas una quantità di energia per unità di tempo pari a $\displaystyle W$ . Nel tratto finale del tubo, la velocità di scorrimento del gas è $\displaystyle v'$ con $\displaystyle 0 < v' -v \ll v$ , la sua temperatura $\displaystyle T'$ e la sua densità $\displaystyle \rho'$ . Assumendo che la pressione $\displaystyle P$ del gas lungo tutto il tubo sia costante, si determini la forza di reazione risultante sul tubo in funzione di $\displaystyle W, v, \rho, P$ .

Ho provato a risolverlo, ma ho qualche dubbio sulla mia soluzione e tra l'altro anche a me esce un 3 invece di un 5...Allora, supponiamo che in mezzo al tubo non ci sia quel dispositivo e che la velocità aumenti a causa di una diminuzione della sezione. In queste condizioni, fra le due sezioni ci sarà una determinata differenza di pressione, ma il problema dice che la pressione del gas è costante lungo il tubo, quindi evidentemente il gas dovrà esercitare sul tubo un'ulteriore forza corrispondente a questa differrenza di pressione. Abbiamo quindi:

$\displaystyle \Delta p=\frac {\rho (v'^2-v^2)}{2}=\frac {m(v'^2-v^2)}{2Av\Delta t}\qquad (1)$

L'energia fornita dal dispositivo presente nel tubo produce una variazione dell'energia cinetica del gas e anche una variazione della sua energia interna. In formule:

$\displaystyle W\Delta t=\frac {3nR\Delta T+m(v'^2-v^2)}{2}\qquad (2)$

Sosituiamo ora nella (1) l'espressione di $\Delta t$ che si ricava dalla (2) e si trova:

$\displaystyle \Delta p=\frac {m (v'^2-v^2)W}{Av(3nR\Delta T+m(v'^2-v^2))}$

Ora al posto di $n$ sostituisco $\displaystyle \frac {m}{MM}$ e al posto di MM $\displaystyle \frac {\rho RT}{p}$ quindi si giunge a

$\displaystyle \Delta p=\frac {\rho RT(v'^2-v^2)W}{pAv(3R\Delta T+\frac {\rho RT(v'^2-v^2)}{p})}$

Sappiamo inoltre per l’equazione dei gas perfetti che

$\displaystyle \frac {V}{T}=\frac {V'}{T'}\Rightarrow \frac {v}{T}=\frac {v'}{T'}\Rightarrow vT'=v'T$

Sostituendo si ottiene ancora:

$\Delta p=\displaystyle \frac {\rho vW}{A(3p+\rho v^2)}$

Ora per sapere la forza dovrei moltiplicare $\Delta p$ per la superficie laterale del cilindro, pari a

$\displaystyle S=\frac {2A}{r}v\Delta t$

Per eliminare la dipendenza da r prendo un $\displaystyle \Delta t$ tale che $\displaystyle v\Delta t=r$ e si arriva a :

$\displaystyle F=\frac {2\rho vW}{3p+\rho v^2}$

Come si può vedere oltre che un 3 al posto del 5 manca anche un 2 al secondo termine del denominatore. Inoltre vorrei capire perchè il risultato corretto viene prorio se calcolo la forza su un tratto di tubo tale che $v\Delta t=r$
Dove sta l'errore?

String ha scritto: Allora, supponiamo che in mezzo al tubo non ci sia quel dispositivo e che la velocità aumenti a causa di una diminuzione della sezione. In queste condizioni, fra le due sezioni ci sarà una determinata differenza di pressione, ma il problema dice che la pressione del gas è costante lungo il tubo, quindi evidentemente il gas dovrà esercitare sul tubo un'ulteriore forza corrispondente a questa differrenza di pressione. Abbiamo quindi:

$\displaystyle \Delta p=\frac {\rho (v'^2-v^2)}{2}=\frac {m(v'^2-v^2)}{2Av\Delta t}\qquad (1)$

[...]

Ora per sapere la forza dovrei moltiplicare $\Delta p$ per la superficie laterale del cilindro, pari a

$\displaystyle S=\frac {2A}{r}v\Delta t$

Per eliminare la dipendenza da r prendo un $\displaystyle \Delta t$ tale che $\displaystyle v\Delta t=r$ [...]

Non capisco perchè supponi un sistema diverso. Evidentemente vuoi renderlo equivalente ma non capisco per quali aspetti..
E poi di che forza parli? La sezione laterale che c'entra? (l'eliminazione della dipendenza è indice che la soluzione è molto dubbia

, dovresti cambiare approccio.. )

Io nel frattempo ho riflettuto un po' e mi sono accorto del mio errore (cioè di aver trascurato un termine nella conservazione dell'energia che in effetti andava messo).

Chiedete un aiuto se volete.

oook ho sparato solo cavolate, vabbè, ci penserò ancora un pò su

dai la soluzione

String ha scritto: $\displaystyle \frac {V}{T}=\frac {V'}{T'}\Rightarrow \frac {v}{T}=\frac {v'}{T'}$

Che passaggio c'è?

Ecco il primo hint per chiarire la direzione della forza: il liquido subisce un'accelerazione, quindi è sottoposto ad una forza. Stessa forza (con verso opposto) agisce sul dispositivo, e cioè sul tubo. Per calcolarla considerate quindi una parte di gas $\displaystyle dm$ (e $\displaystyle dn$ ) che viene accelerata.

CoNVeRGe. ha scritto: Ecco il primo hint per chiarire la direzione della forza: il liquido subisce un'accelerazione, quindi è sottoposto ad una forza. Stessa forza (con verso opposto) agisce sul dispositivo, e cioè sul tubo. Per calcolarla considerate quindi una massa $\displaystyle dm$ (e $\displaystyle dn$ ) che viene accelerata.

Si, mi sono accorto che prima non avevo capito bene la forza richiesta dal problema...

CoNVeRGe. ha scritto:
String ha scritto: $\displaystyle \frac {V}{T}=\frac {V'}{T'}\Rightarrow \frac {v}{T}=\frac {v'}{T'}$
Che passaggio c'è?

Mah, sempre che ciò che ho detto sia giusto, se consideriamo una determinata quantità di gas prima e dopo l'azione del dispositivo, allora questa percorre in un intervallo di tempo $\Delta t$ volumi diversi a causa della differente velocità nei due casi. Per l'equazione dei gas perfetti abbiamo quindi:

prima: $\displaystyle PV=nRT\Rightarrow PAv\Delta t=nRT$

dopo: $\displaystyle PV'=nRT'\Rightarrow PAv'\Delta t=nRT$

Facendo il rapporto membro a membro si ottiene

$\displaystyle \frac {V}{V'}=\frac {T}{T'}\Rightarrow \frac {V}{T}=\frac {V'}{T'}\Rightarrow \frac {Av\Delta t}{T}=\frac {Av'\Delta t}{T'}\Rightarrow \frac {v}{T}=\frac {v'}{T'}$

Giusto?

String ha scritto: Mah, sempre che ciò che ho detto sia giusto, se consideriamo una determinata quantità di gas prima e dopo l'azione del dispositivo, allora questa percorre in un intervallo di tempo $\Delta t$ volumi diversi a causa della differente velocità nei due casi. Per l'equazione dei gas perfetti abbiamo quindi:

prima: $\displaystyle PV=nRT\Rightarrow PAv\Delta t=nRT$

dopo: $\displaystyle PV'=nRT'\Rightarrow PAv'\Delta t=nRT$

Facendo il rapporto membro a membro si ottiene

$\displaystyle \frac {V}{V'}=\frac {T}{T'}\Rightarrow \frac {V}{T}=\frac {V'}{T'}\Rightarrow \frac {Av\Delta t}{T}=\frac {Av'\Delta t}{T'}\Rightarrow \frac {v}{T}=\frac {v'}{T'}$

Giusto?

Sì è giusto. Io avevo ottenuto quella relazione in modo diverso.

Per la conservazione della porta massica:

$\displaystyle \frac {dm}{dt} = \rho A v = \rho' A v' \Rightarrow \frac{v}{v'} = \frac{\rho'}{\rho}$

Per l'equazione dei gas perfetti:

$\displaystyle \frac{nT}{V} = cost. \Rightarrow \rho T = \rho' T'$

Quindi:

$\displaystyle \frac{v}{v'} = \frac{\rho'}{\rho} = \frac{T}{T'}$

Ottengo quindi una relazione anche con le densità che tuttavia non è necessario avere nel procedimento del problema.

L'energia fornita dal dispositivo aumenterà l'energia cinetica di traslazione e la temperatura. Cioè $W= \frac{mdv^2}{2dt}+\mu C_p \frac{dT}{dt}$
Ma $\frac{mdv^2}{2dt}=Fv$ e utilizzando la legge dei gas perfetti (e ricordando che $C_p=\frac{5}{2}R$ ) otteniamo $\mu C_p \frac{dT}{dt}=\frac{5}{2}p\frac{dV}{dt}$
Calcoliamo ora $\frac{dV}{dt}$ . Abbiamo che $dV=Av'dt-Avdt$ quindi $\frac{dV}{dt}=A\Delta v$
Per il teorema dell'impulso $F\Delta t=m \Delta v$ quindi $\Delta v=\frac{F \Delta t}{\rho Av \Delta t}=\frac{F}{\rho Av}$
Ora abbiamo tutto. Sostituiamo nell'equazione della conservazione dell'energia e ricavando $F$ otteniamo $F=\frac{2\rho v W}{5p+2\rho v^2}$

Scusate, ma ditemi perchè procedendo in modo simile (cioè usando le stesse espressioni per la conservazione dell'energia e per la forza) il risultato viene leggermente diverso.
Abbiamo detto che

$\displaystyle W\Delta t=\frac {m(v'^2-v^2)+5nR\Delta T}{2}$

Possiamo poi scrivere l'espressione della forza come

$\displaystyle F=\frac {m\Delta v}{\Delta t}$

Sostituendo a $\Delta t$ l'espressione che si trova dalla prima equazione alla fine si trova questo:

$\displaystyle F=\frac {2\rho vW}{5p+\rho v^2}$

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