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Calcolare il periodo delle piccole oscillazioni di una pallina di raggio r e massa m vincolata a muoversi lungo la superficie interna di una semisfera di raggio R considerando che la forza d'attrito è sufficiente per evitare che la pallina slitti.

Se la pallina rotola sulla semisfera, l'asse istantaneo di rotazione passa per il punto di contatto pallina-semisfera. Pertanto il centro della pallina ruota istantaneamente attorno a questo punto diciamo di un angolo e di un angolo attorno al centro della semisfera. Sono legati dalla relazione . Applicando la legge di Newton per i moti rotatori (o il principio di conservazione dell'energia) e tenuto conto che il momento di inerzia rispetto all'asse di rotazione è , a me risulterebbe se non ho sbagliato i conti,

Io ho ottenuto un risultato diverso usando però la conservazione dell'energia. Posto il ragionamento per vedere, se c'è, dove è l'errore.
L'energia totale della pallina è data dall'energia cinetica del centro di massa, l'energia rotazionale della pallina attorno al centro di massa e l'energia potenziale gravitazionale. dove theta è l'angolo (piccolo) formato con la verticale. Il momento di inerzia di una sfera vale e nel caso di non slittamento . Considerando il piccolo spostamento s, theta è legato a s dalla relazione .
Sostituendo l'energia si scrive . Differenziando rispetto al tempo e siccome per angoli piccoli ottengo da cui

Gabry ha scritto:Io ho ottenuto un risultato diverso usando però la conservazione dell'energia.
Il momento di inerzia di una sfera vale e nel caso di non slittamento . Considerando il piccolo spostamento s, theta è legato a s dalla relazione .[/tex]

Penso che abbiamo ragione entrambi da un certo punto di vista. Tu hai usato il momento di inerzia di una pallina cava che è mentre io ho usato quello di una piena che è come si poteva dedurre dal mio I.
Nella letteratura, vedi anche in rete, la palla, e quindi la pallina, è assimilata alla sfera piena. Se nel tuo conto metti il mio valore ti torna il mio risultato anche con la conservazione dell'energia, come deve essere. Comunque credo che non abbiamo fatto errori significativi, è solo questione di intendere la parola.

modesto ha scritto:

Gabry ha scritto:Io ho ottenuto un risultato diverso usando però la conservazione dell'energia.
Il momento di inerzia di una sfera vale e nel caso di non slittamento . Considerando il piccolo spostamento s, theta è legato a s dalla relazione .[/tex]

Penso che abbiamo ragione entrambi da un certo punto di vista. Tu hai usato il momento di inerzia di una pallina cava che è mentre io ho usato quello di una piena che è come si poteva dedurre dal mio I.
Nella letteratura, vedi anche in rete, la palla, e quindi la pallina, è assimilata alla sfera piena. Se nel tuo conto metti il mio valore ti torna il mio risultato anche con la conservazione dell'energia, come deve essere. Comunque credo che non abbiamo fatto errori significativi, è solo questione di intendere la parola.

Hai ragione, non avevo fatto caso a questo particolare