Satellite e stella

[spn]

Ciao a tutti
Volevo proporre un problema preso da una finale nazionale americana (del 2003 mi sembra).

Un satellite di massa m è in un'orbita circolare di raggio r intorno ad una stella di massa M.

1)Qual'è la quantità di moto del satellite?
2)Si vuole imprimere al satellite un singolo impulso, causando la sua fuga dalla stella. Qual'è il minimo impulso necessario ?
3)Supponendo che la stella abbia un raggio R, qual'è il minimo impulso necessario affinchè il satellite scontri con la stella?

I primi punti mi sembrano pittosto semplici.
Non riesco a trovare le soluzioni ufficiali su internet .
Buon lavoro!

[Alex90]

Ciao a tutti
Volevo proporre un problema preso da una finale nazionale americana (del 2003 mi sembra).

Un satellite di massa m è in un'orbita circolare di raggio r intorno ad una stella di massa M.

1)Qual'è la quantità di moto del satellite?
2)Si vuole imprimere al satellite un singolo impulso, causando la sua fuga dalla stella. Qual'è il minimo impulso necessario ?
3)Supponendo che la stella abbia un raggio R, qual'è il minimo impulso necessario affinchè il satellite scontri con la stella?

I primi punti mi sembrano pittosto semplici.
Non riesco a trovare le soluzioni ufficiali su internet .
Buon lavoro!

1)

Dato che il corpo si muove di moto circolare uniforme si ha che la forza gravitazionale e quella centrifuga sono uguali:



Da cui



Perciò la quantità di moto del satellite è



2)

Affinchè il corpo possa sfuggire alla forza gravitazionale occorre che abbia energia cinetica sufficiente per giungere all'infinito, cioè



Perciò



Il terzo punto mi lascia qualche perplessità...in teoria se il corpo ruota su un'orbita di raggio a velocità basta che si sposti di un niente verso la stella per scontrarsi contro di essa...

[spn]

Il terzo punto mi lascia qualche perplessità...in teoria se il corpo ruota su un'orbita di raggio a velocità basta che si sposti di un niente verso la stella per scontrarsi contro di essa...

Hmm, non sono proprio convinto di quello che dici.

In teoria basta che il satellite abbia una velocità tangenziale nonnulla che la sua orbita assuma una forma ellittica.
Quindi ,se la stella fosse puntiforme, il satellite ci si scontrerebbe solo se avesse velocità tangenziale nulla.
Percui non è detto che il satellite ci si scontra appena si diminuisce un pò

La cosa che mi lascia più indeciso è come il satellite si avvicina alla stella...la sua orbità rimane circolare o assume una forma ellittica? bho

[Alex90]

io credo che più che ellittica assuma una traiettoria a spirale...se la forza gravitazionale supera quella centrifuga allora deve finire con il collassare sul pianeta...però così la domanda avrebbe poco senso...

[SkZ]

il periastro e' a , dove a e' il semi-asse maggiore e e l'eccentricita'
il satelite si scontra quando

i corpi spiraleggiano solo se stanno perdendo energia/momento d'inerzia. In questo caso non abbiano dissipazione e solo forze centrali ergo l'orbita e' chiusa ed e' una conica

[spn]

però così la domanda avrebbe poco senso...

Anche per questo non sono convinto di quello che dici.
Invece se il pianeta si avvicina formando orbite quasi circolari può succedere che la forza centrifuga torni uguale a quella gravitazionale, rimanendo la sua velocità tangenziale costante, e il satellite può riprendere un'orbita senza finire per scontrarsi con alla stella . Così il problema avrebbe più senso e può essere risolto facilmente (forse pure troppo ).

il periastro e' a , dove a e' il semi-asse maggiore e e l'eccentricita'
il satelite si scontra quando

Si ma da qua come si arriva alla velocità che dovrebbe avere il satellite?

[pascal]

Se il satellite segue un’ellisse con distanza massima r e minima R dal centro stellare, si ha una condizione limite alla velocità per lo scontro. Dopo si può applicare la conservazione dell’energia e del momento angolare per appurare la velocità alla distanza r.

[Pairo]

Io penso che in questo caso il problema sia studiato per affrontarlo nel modo più semplice; ce n'era uno simile in una gara di Senigallia di molti anni fa (prima di quelli che sono pubblicati sul sito).

Se consideriamo la stella come puntiforme l'unico modo perché il satellite collassi sulla stella è che abbia velocità tangenziale nulla; come hanno già detto tutti fornendo al satellite un impulso in qualsiasi direzione diversa da quella tangenziale si avrà un orbita diversa ma comunque il satellite non collasserebbe.

Perciò l'energia da fornire al satellite tramite l'impulso è uguale all'energia cinetica del satellite attorno alla stella: una volta che la sua velocità tangenziale sarà nulla avverrà il collasso.

[Rigel]

Perciò l'energia da fornire al satellite tramite l'impulso è uguale all'energia cinetica del satellite attorno alla stella: una volta che la sua velocità tangenziale sarà nulla avverrà il collasso.

Questo nel caso in cui la stella sia puntiforme. se la stella non è puntiforme, basta che la distanza satellite-stella al perielio sia minore del raggio della stella, come detto da pascal e SkZ. piuttosto avrei una domanda sul testo: ci sono condizioni sulla direzione dell'impulso (ad es.: solo radiale, solo tangenziale, ecc.)?

[spn]

Il testo originale non lo conosco. E' un problema che mi ha proposto il mio prof e che al momento non sono riuscito a trovare su internet. Immagino comunque che debba essere applicato lungo la direzione del moto del satellite.