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Scusate se propongo questa questione già parzialmente affrontata in precedeanza.
Supponiamo che un corpo di massa m e velocità v0 urti elasticamente un altro corpo di massa M inizialmente fermo. Trovare i massimi valori delle velocità dopo l'urto.
Per risolvere questa situazione ho usato delle considerazioni geometriche: scrivendo la conservazione dell'energia, ho

$mv_0^2=mv_1^2+Mv_2^2$

da cui

$\frac{v_1^2}{v_0^2}+\frac{Mv_2^2}{mv_0^2}=1$ .

Quest'espressione rappresenta un'ellisse in cui:

$a^2=v_0^2$ e $b^2=\frac{m}{M}v_0^2$ .

Operando la dilatazione che trasforma:

$v_1=at$

$v_2=bu$

con t e u variabili del nuovo sistema di coordinate, si ottiene una circonferenza di equazione:

$t^2+u^2=1$

Il punto della nuova circonferenza in cui si hanno i valori massimi di t e u sono per:

$t=u=\frac{1}{\sqrt{2}}$ .

Sfruttando la dilatazione ottengo infine:

$v_1=\frac{v_0}{\sqrt{2}}$

$v_2=\sqrt{\frac{m}{2M}}v_0$ .

A me sembrano piuttosto strani come risultati

,ma vi prego controllate ciò che ho scritto!

Innanzitutto devi chiarire cosa intendi per massimi valori. Che (praticamente) la somma dei loro moduli sia massima?

si si intendevo quanto hai detto!

Allora:

Dalla conservazione della quantità di moto si ha:

$mv_0=mv\cos\theta+MV\cos\phi \qquad (1)$

e

$mv\sin\theta=MV\sin\phi \qquad (2)$

Dalla conservazione dell'energia si ha

$m{v_0}^2=mv^2+MV^2 \qquad (3)$

Dalla $(1)$ e dalla $(3)$ ottengo

$m(v_0-v\cos\theta)=MV\cos\phi$

e

$m(v_0+v\cos\theta)(v_0-v\cos\theta)=mv^2\sin^2\theta+MV^2$

Da cui dividendo membro a membro

$\displaystyle v_0+v\cos\theta=\frac{mv^2\sin^2\theta}{MV\cos\phi}+\frac{V}{\cos\phi}$

e quindi

$v_0=\frac{V}{\cos\phi}(\frac{M}{m}\sin^2\phi+1)-v\cos\theta$

Da cui

$2v_0=\frac{V}{\cos\phi}(\frac{M}{m}+1)$

adesso vado a fare un po' di italiano...continuo dopo...

Solimano ha scritto: ma vi prego controllate ciò che ho scritto!

Ho provato a risolverlo analiticamente ma mi è venuta una roba molto grossa, magari ho sbagliato un calcolo ma non credo..

Ad ogni modo il tuo procedimento è sì bello, ma mi sembra un po' azzardato e con passaggi che non hai giustificato minimamente (ad esempio perchè t=u ? e qualè il significato di trovare il massimo con quella circonferenza?).

Puoi comunque risolvere analiticamente e vedere se trovi riscontro geometricamente, ma devi comunque giustificare i passaggi, penso.

EDIT: Ah, e poi credo che tu debba comunque tener conto della conservazione della quantità di moto, perchè con sola l'energia potresti ottenere risultati fisicamente non validi (esempio: $\displaystyle mv_0^2 = Mv_2^2$ con M diverso di m).

Come mi avevi giustamente sottolineato, il mio scopo è trovare i valori delle velocità tali da rendere la loro somma massima.
Nel sistema (t;u) la funzione che esprime la somma è data da

$f_{(t)}=t+\sqrt{1-t^2}$

(dove considero solamente la semicirconferenza posta nel semipiano di u positivo).
Il massimo di tale funzione si ottiene per:

$1-\frac{t}{\sqrt{1-t^2}}=0$

da cui (considerando solamente il valore positivo)

$t=\frac{1}{\sqrt{2}}$ .

Poichè ho $t^2+u^2=1$ , ho

$u=\frac{1}{\sqrt{2}}=t$

Ora volevo chiedervi anche quali dei valori ottenuti dalla funzione della somma (cioè quelli dati dalla semicirconferenza positiva e da quella negativa) devo prendere in considerazione

Solimano ha scritto: Nel sistema (t;u) la funzione che esprime la somma è data da

$\displaystyle f_{(t)}=t+\sqrt{1-t^2}$

Ecco l'errore

Secondo quanto hai scritto sopra si ha:

$\displaystyle S = v_1 + v_2 = at + bu = at + a \sqrt{ \frac{m}{M} } u = at + axt = a(t+xu)$

Il massimo di $\displaystyle a(t+xu)$ è diverso dal massimo di $\displaystyle t + u$

Grazie alla circonferenza possiamo trovare $\displaystyle u$ in funzione di $\displaystyle t$ ( $\displaystyle t,u>0$ ) quindi otteniamo $\displaystyle S(t)$ .

Il massimo mi viene per

$\displaystyle t = \sqrt{ \frac{M}{m+M} }$

Quindi le velocità:

$\displaystyle v_1 = v_0 \sqrt{ \frac{M}{m+M} }$

$\displaystyle v_2 = v_0 \sqrt{ \frac{M}{m+M} } \frac{m}{M}$

Si vede che $\displaystyle Mv_2 = mv_1$ ovvero che i moduli della quantità di moto dei due corpi dopo l'urto sono uguali.

Riprendendo le equazioni di Alex90:

$\displaystyle mv_0=mv_1\cos\theta+Mv_2\cos\phi \qquad (1)$

$\displaystyle mv_1\sin\theta=Mv_2\sin\phi \qquad (2)$

Dalla (2) emerge quindi che $\displaystyle \cos\theta = \cos\phi$

Dalla (1) vediamo che:

$\displaystyle mv_0 = m 2 v_1 \cos \phi$

Si ottiene quindi:

$\displaystyle \cos\phi = \frac{1}{2} \sqrt{ \frac{M+m}{M} } \qquad \sin\phi = \frac{1}{2} \sqrt{ \frac{3M - m}{M} }$

Controllando questo problema: olifis/phpBB3/viewtopic.php?f=12&t=88 si può considerare la disuguaglianza:

$\displaystyle \sin\phi \leq \frac{m}{M} \qquad con \frac{m}{M} < 1$

che, sfruttando le limitazioni del seno e del coseno porta a:

$\displaystyle \frac{3}{4} \leq \frac{m}{M} \leq 3 \qquad con \frac{m}{M} < 1$

Invece senza la limitazione $\displaystyle \frac{m}{M} < 1$ credo si avrebbe $\displaystyle 0 < \frac{m}{M} \leq 3$

Come vedi la quantità di moto deve pur rientrarci altrimenti potresti avere risultati irreali.

Spero di non aver fatto errori di calcolo..

GIUSTO!!!!!!!! Grazie mille

Avevo scritto una boiata!!

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urto e velocità massime

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