Forum OLIFIS

Avrei una domanda secca da rivolgere; intanto si sta parlando di gas perfetti monoatomici in cui tutta l'energia degli atomii è traslazionale. La mia domanda si riferisce alle distribuzioni di energia e velocità di Maxwell.

Perché l'energia più probabile di una molecola non corrisponde al valore della velocità più probabile? Per valori più probabili mi riferisco a quelli che azzerano la derivata della funzione di distribuzione.

La mia risposta sarebbe che l'energia dipende dal quadrato della velocità e non dalla velocità e in modo intuitivo più o meno riesco a giustificarlo. Qualcuno però saprebbe spiegarmelo per bene?

Grazie mille..

Se F(v) è la distribuzione di probabilità di Maxwell, l’energia cinetica media si trova nel seguente modo:

.

Si tratta di trovare una media di utilizzando come pesi i valori della funzione di Maxwell.
Se si svolge l’integrazione si trova proprio 3kT/2, dove k = costante di Boltzmann.
La velocità che fornisce il valore più elevato di F(v), si ricava invece da F’(v)=0 che è un’operazione diversa.

Supponi di avere due sole particelle, di , una con e l'altra con (in qualche sistema di unità di misura). La loro velocità media è . La loro energia cinetica media è la somma delle energie cinetiche diviso due e quindi è pari a . La velocità che dovrebbe avere una particella con questa energia cinetica media è più di , infatti è radice di .
Il caso generale è uguale

No, forse mi sono espresso male, scusate.
Io faccio riferimento all'Halliday, precisamente il capitolo 22 sulle proprietà molecolari dei gas. Vengono presentate due equazioni, una è quella della distribuzione delle velocità, l'altra è quella della distribuzione delle energie traslazionali, che si può ricavare dalla prima. Come quesito (problema svolto 22.8), il libro pone la domanda di come mai, derivando le due funzioni, si ottengano una velocità diversa da quella corrispondente all'energia che annulla la derivata prima della funzione delle energie. Non ho nominato velocità o energie medie, ma velocità ed energie più probabili, cioè quelle per cui si ha un massimo nelle rispettive funzioni.
La domanda rimane aperta

Scusa avevo frainteso la domanda. Purtroppo non mi viene nessuna idea per spiegare la cosa (a parte ovviamente fare il conto ma vabè).

Ciao!

E’ opportuno scrivere le due equazioni per coloro che non hanno il libro.

E' vero, scusate. Per quanto riguarda la distribuzione di velocità:



Quella delle energie, invece:

Allora, è una spiegazione un po' del cavolo ma te la do lo stesso perchè non mi viene in mente niente di meglio.
La distribuzione è tale che l'area sottesa tra e è pari alla probabilità di trovare la molecola con velocità in quell'intervallo.
Adesso immagina di voler costruire "graficamente" la a partire dalla .
Cosa dovresti fare?
Potresti ad esempio dividere l'asse delle velocità nel grafico di in tanti piccoli intervallini, tutti di uguale ampiezza .
ognuno di questi intervallini di velocità corrisponderà a degli intervallini lungo l'asse del grafico che vuoi costruire. L'area sottesa tra e deve essere uguale all'area sottesa tra i corrispondenti ed , perchè deve corrispondere ad una probabilità, la quale è la stessa.
Procedendo in questo modo ti puoi costruire il grafico a partire dal vecchio.
Ora, il fatto che il massimo non venga nel punto di prima è perchè, poichè , mentre sull'asse gli intervallini sono tutti di larghezza uguale, sull'asse delle sono tanto più larghi quanto più era lontano dall'origine l'intervallino , e quindi più vado lontano dall'origine e più la curva si abbassa perchè si deve allargare mantenendo però la stessa area.

Spero si capisca...

Perché le funzioni sono diverse in quanto legate dalla relazione:

da cui



Derivando si ha

.

La precedente si trasforma in

.

Quando si annulla una derivata non si azzera l’altra.

Come al solito molto istruttivo. Grazie mille