SNS 1986 n.2

[Epimenide]

In presenza di un campo magnetico uniforme , un filo elettrico di resistenza , inizialmente avvolto a cappio come in figura, viene tirato agli estremi a velocità costante . Si assuma che la forma del cappio sia e rimanga circolare e che il campo magnetico sia perpendicolare al piano dove giace il cappio.




(i) Qual è la quantità totale di carica che ha percorso il cappio fino a quando esso è scomparso?
(ii) Qual è l'andamento temporale della corrente durante il processo?

La carica totale mi viene (trascina per leggere) S*B/R dove S è la superficie iniziale del cappio, risultato abbastanza interessante, in quanto indipendente dalla velocità con la quale si stende il filo.

Mentre ha un'espressione un po' più lunga, ma niente di straordinario, solo che dovrei scriverla in Tex per renderla comprensibile, e non potrei "occultarla".

Ho scritto qualche castroneria? Voi come procedereste?

[Omar93]

posta il procedimento per piacere. Secondo me non dipende da v per la conservazione dell'energia.

[Epimenide]

Sinceramente non avevo pensato di risolverlo ricorrendo alla conservazione dell'energia.

Io sono partito definendo il raggio del cappio all'istante iniziale. Alla circonferenza di raggio viene sottratta dal perimetro una lunghezza funzione del tempo pari a , da cui .

Ora si ricava facilmente la superficie delimitata dalla circonferenza in funzione del tempo .

Il flusso attraverso risulta essere perciò .

Dunque .

Possiamo già rispondere al secondo quesito (questo mi fa supporre che ci fosse un altro modo per rispondere al primo), svolgendo i calcoli abbiamo .

Per rispondere al primo calcoliamo il valore per cui , ovvero , e dalla legge di Ohm vediamo subito che , svolgendo i calcoli risulta appunto .

Qualche idea per un approccio alternativo?

[Omar93]

Più o meno il procedimento è quello..

[Epimenide]

Più o meno il procedimento è quello..

In cosa differisce il tuo?

[modesto]

Io trovo che procedimento e soluzioni siano giusti ma che il testo sia, come purtroppo spesso succede, infelice. Infatti il risultato dei quesiti è espresso con dati non forniti dal testo come la superficie iniziale del cappio. Un buon testo deve consentire di esprimere i risultati solo in funzione dei dati che fornisce e non di quelli ipotizzabili.

[Epimenide]

Io trovo che procedimento e soluzioni siano giusti ma che il testo sia, come purtroppo spesso succede, infelice. Infatti il risultato dei quesiti è espresso con dati non forniti dal testo come la superficie iniziale del cappio. Un buon testo deve consentire di esprimere i risultati solo in funzione dei dati che fornisce e non di quelli ipotizzabili.

Sì, sono d'accordo. Mi sono preso la libertà di insistere su raggio e superficie in virtù del "Si assuma che la forma del cappio sia e rimanga circolare" del testo, ma effettivamente non dà alcun dato riguardante la circonferenza, il raggio o la superficie.

[modesto]

Ho ripensato al mio messaggio e credo di aver detto una bischerata affermando che il tuo procedimento è giusto. Infatti la resistenza R è quella del cappio iniziale secondo il testo. Via via che la sua lunghezza diminuisce, diminuisce anche la sua resistenza fino ad annullarsi. Se le cose stanno così abbiamo e la resistenza istantanea essendo r(t) il raggio istantaneo pari a .
Purtroppo facendo i conti anche così ci rimane il k ( rapporto fra la resistività e la sezione del filo?) che non figura fra i dati iniziali. Che ne pensi?

[Epimenide]

Ho ripensato al mio messaggio e credo di aver detto una bischerata affermando che il tuo procedimento è giusto. Infatti la resistenza R è quella del cappio iniziale secondo il testo. Via via che la sua lunghezza diminuisce, diminuisce anche la sua resistenza fino ad annullarsi. Se le cose stanno così abbiamo e la resistenza istantanea essendo r(t) il raggio istantaneo pari a .
Purtroppo facendo i conti anche così ci rimane il k ( rapporto fra la resistività e la sezione del filo?) che non figura fra i dati iniziali. Che ne pensi?

L'unica spiegazione che mi viene in mente è che il "filo di resistenza R" possa essere schematizzato come un filo di resistenza trascurabile, con una resistenza R messa in serie, in uno dei due lati "rettilinei", in fondo la corrente che attraversa il cappio scorre in seguito anche attraverso le parti rettilinee del filo. Interpretandola così restano corretti i primi risultati. Altrimenti bisogna fare come hai detto tu, e abbiamo un ulteriore dato non fornito. Il fatto che ci sia da interpretare è già un problema, comunque.

[modesto]

Non credo che la tua ultima spiegazione sia corretta. La corrente può scorrere SOLO in una spira CHIUSA (come dice la legge dell'induzione), cioè nel cappio con il nodo. La riprova è che il testo chiede la carica che è passata nel CAPPIO durante il processo(con la sua lunghezza e resistenza istantanea, quindi). La corrente non può circolare nei tratti rettilinei svolti oltre il nodo del cappio, a destra e sinistra: si tratta di conduttori che hanno lo stesso potenziale dell'estremo del cappio cui sono collegati e quindi senza corrente (e poi dove andrebbe se ci fosse...Gli elettroni che partono dal polo negativo e arrivano al positivo debbono poter tornare lì da dove sono partiti, come nella resistenza chiusa sulla pila o nella nostra spira chiusa).
Pertanto, ribadito che il raggio iniziale è che si annulla nel tempo , si può dire che si induce fra gli estremi del cappio a contatto fra loro una f.e.m. che è, come hai visto anche tu, proporzionale alla circonferenza del cappio e a . Ma anche la resistenza del cappio è proporzionale alla lunghezza del cappio, cioè a questa circonferenza. Pertanto la corrente istantanea nel cappio non dipende dal tempo, è COSTANTE e risulta a conti fatti

che, moltiplicata per , fornisce la carica
.
Rispondendo allora al secondo quesito si può affermare che l'andamento della corrente è quello dell'"onda quadra": all'istate iniziale si porta da 0 a i per poi ricadere a 0 all'istante .