PreIPhO 2009-Problema 3

[Rigel]

Ecco finalmente l'ultimo problema assegnato al preIPhO.
"La base di una bilancia a molla è rigidamente fissata alla scocca di un'automobile al suo interno.
La molla interna della bilancia possiede una costante elastica . Sul piatto della bilancia è rigidamente fissato un oggetto di massa . (La massa dell'oggetto è molto più grande della massa del piatto, pertanto è possibile trascurare quest'ultima rispetto all'altra.)
Quando l'automobile è ferma su una strada orizzontale, la bilancia segna, correttamente, il peso dell'oggetto, cioè .
Si consideri ora che l'automobile sta viaggiando con una velocità orizzontale costante su una strada che ha un profilo leggermente ondulato. Il profilo della strada è mostrato in figura, con e . Si osservi che eche è molto più grande della lunghezza dell'automobile. La forma del profilo della strada può essere approssimato da una funzione sinusoidale.
1: Disegnare un grafico che mostri il valore letto dalla bilancia in funzione del tempo , nell'ipotesi che la velocità sia mantenuta costante al valore . Indicare nel grafico anche la scala temporale utilizzata. (Spiegare chiaramente la risposta, esplicitando anche tutti i calcoli che sono stati necessari per rispondere.) Quali caratteristiche del grafico cambieranno se cambia la velocità orizzontale v? Come dipendono queste caratteristiche da v? (Ricordarsi che c'è una velocità massima per l'automobile: si può assumere che la velocità massima sia circa .)
Si supponga che lo smorzamento che manda a zero le oscillazioni proprie della molla sia abbastanza elevato."

Buon divertimento...

[Solimano]

Provo a dare la soluzione.
Le forze agenti sulla molla sono quella di richiamo e la componente perpendicolare della forza peso. Quindi l'equazione cardinale del moto è:



con

Questa è l'equazione di un corpo che compie delle oscillazioni forzate sinusoidali in cui la forza d'attrito viscoso è nulla; infatti per tale moto si ha:

con .

Ora si sa che:

dove

.

Combinando le due equazioni, si trova:

.

Tra le soluzioni dell'equazione completa delle oscillazioni forzate si ha:

in cui poichè .

La forza che la bilancia segnerà sarà dunque:

.

Scusate se non metto il grafico ma non so con cosa disegnarlo !!!
Fatemi sapere se va bene!!!!!!!!!!

[Rigel]

Si supponga che lo smorzamento che manda a zero le oscillazioni proprie della molla sia abbastanza elevato."

Ciò significa che in pratica la molla non oscilla in seguito ad una variazione della forza agente su di essa: semplicemente si porta nella nuova posizione di equilibrio.
Un'altra cosa: tu hai considerato come l'angolo, diciamo, associato al profilo cosinusoidale della strada; invece dall'espressione della forza è evidente che è l'angolo formato dalla normale alla strada con la verticale, cioè l'angolo tra la tangente alla strada e l'orizzontale.

[Pairo]

Come sempre grazie mille Rigel per aver postato anche l'ultimo problema!! Davvero, fa sempre molto piacere la tua disponibilità .Anche se questo mi ha creato più problemi degli altri due.

Provo a postare la mia soluzione:
Intanto scriviamo la funzione con cui interpretiamo la curva del fondo stradale. Dev'essere della forma:

e imponendo le condizioni geometriche di lunghezza d'onda e ampiezza, si ha:

che si può scrivere anche come:



Consideriamo adesso uno spostamento piccolo della macchina. Poichè è la velocità orizzontale, abbiamo:

La derivata di un punto in una curva è il coefficiente angolare della retta tangente, cioè anche la tangente dell'angolo che la retta forma con l'asse delle x. Possiamo scrivere allora:

per la definizione di derivata; è lo spostamento lungo y. Si noti che questo è lo spostamento della macchina, ma anche della massa, poiché K è tale da poter trascurare gli spostamenti della massa dovuti alla compressione della molla. Possiamo allora calcolare l'accelerazione nel verso perpendicolare all'asse delle x, derivando due volte la curva f del piano stradale, cioè la (1) rispetto al tempo. Otteniamo dunque:



Possiamo adesso applicare le leggi di Newton all'oggetto di massa m, ottenendo:

con positiva o negativa; per la (2) abbiamo infine:



Il grafico verrebbe quindi una cosinusoide traslata e dilatata. Adesso distruggetemi

[Ippo]

Possiamo scrivere allora:

per la definizione di derivata;

questo passaggio suona per lo meno "sospetto"
In realtà è

ma forse tutto il resto è giusto visto che non si capisce se/dove l'hai usata
comunque il risultato qualitativamente è giusto, i conti non li ricordo (nell'interpretazione qualitativa della funzione è importate notare il segno meno: è una cosinusoide , coi minimi sui dossi e il massimo sulla cunetta).

[Pairo]

Umm.. forse intendiamo cose diverse e io ho erroneamente chiamato qualcosa che dovevo chiamare con un altro nome . Quello che mi interessava (e che poi ho usato per ricavare l'accelerazione lungo y) era proprio lo spostamento lungo y. Se io considero la definizione di derivata, ho:

da cui



che ho chiamato , perché e quindi .

Quella che dici tu è il differenziale della lunghezza della curva, che però non ho usato perché la velocità del problema era quella orizzontale. Sono stato il più chiaro possibile perché così è più facile trovare eventuali errori nel mio procedimento (senza mettere in dubbio che ho sbagliato a chiamare così )
Comunque grazie mille

[CoNVeRGe.]

Non capisco una cosa: perchè tra tutte le sinusoidali possibili è 'scontato' prendere la semplice ?

che si può scrivere anche come:

Dici che l'approssimazione sia valida ? (o forse non è un'approssimazione e non ho capito)

[Pigkappa]

C'è scritto che la velocità orizzontale è costante, perciò è vero in ogni istante.
Per capire quale funzione rappresentava meglio il tracciato bisognerebbe vedere il grafico, che nessuno ha postato, perciò possiamo fidarci del fatto che assomigli a quello della funzione coseno.

[CoNVeRGe.]

Bene non avevo capito il testo. Avevo infatti provato a dare un'occhiata al problema assumendo costante (e non ) e non ne ero uscito fuori..

Domani se ho tempo provo a rivedere il problema alla luce di questa grandiosa scoperta .

[Ippo]

Rigel nel primo post ha messo il grafico. Avendo questo i massimi all'inizio e alla fine è comodo assumere che sia una cosinusoide così si può porre x=0 all'inizio del tracciato. Solo questione di comodità.