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Mmm iniziamo dall'inizio:

Frank-95 ha scritto:La fluido dinamica ci dice che l'accelerazione diminuisce all'aumentare della velocità:

Dove η rappresente la forma e le dimensioni del corpo e k il coefficiente d'attrito.

Potresti motivarmi come hai ricavato questa formula?
In modo un pò impreciso ma abbastanza generale la dipendenza della forza di attrito viscoso dalla velocità dell'oggetto dipende dal regime in cui ti trovi (ad esempio laminare, turbolento).
Per Numeri di Reynolds alti sei in regime turbolento, e di solito la forza di attrito è proporzionale a . Per numeri di Reynolds bassi sei in regime laminare e la forza di attrito è proporzionale a
Quanto alti e bassi devono essere dipende dal problema in particolare. Però per le velocità tipiche di un proiettile in aria il moto dell'aria sarà certamente molto vorticolo e turbolento.

Dunque mi stupisce il fatto che tu scematizzi la tua forza con

Sei al liceo, no? Che libro usi? Forse mi sbaglio ma io l'attrito dell'aria lo schematizzerei sicuramente con qualcosa di proporzionale al quadrato della velocità, almeno per le velocità tipiche di un proiettile...

Veniamo a chiarire le formule che scrivi, riportando dal libro e poi a rispondere alle domande un pò più "filosofiche".

Dunque, il valore dell'accelerazione

che scrivi alla fine va bene solo se la forza peso è opposta a quella dell'attrio dell'aria. In tale caso (ovvero il grave è in caduta libera e NON si muove di moto parabolico) allora le formule vanno bene e l'accelerazione che trovi è giusta.
Dico giusta perchè il ragionamento è giusto, ma continuo a insistere che per una palla buttata dalla finestra bisogna usare la formula col .

Cosa succede nel moto del proiettile? La direzione della forza di attrito è opposta a quella del vettore velocità. Tale vettore cambia in direzione durante il moto. Di conseguenza la forza di attrito avrà componenti e che variano al variare del tempo e non è molto semplice scrivere le equazioni del moto.
In che classe sei? Se sai cos'è una derivata e hai un idea di cosa sia un equazione differenziale possiamo scrivere il sistema di equazioni del moto. Se no mi viene davvero molto difficile spiegarti che "formule" vengono fuori per il moto del proiettile, tenendo conto dell'attrito dell'aria.

Veniamo ora alle altre domande:

Frank-95 ha scritto: Un corpo velocità basse si muove di regime laminare quindi l'attrito è direttamente proporzionale a v.
In un regime turbolento si formano dei vortici che aumentano l'attrito e lo rendono proporzionale al quadrato della velocità.

Si, a basse velocità sei laminare e l'attrito (in generale) è proporzionale a .
Si, ad alte velocità (in generale) è proporzionale a .
Come fai a decidere quale dei due usare? Ti calcoli il numero di Reynolds che ti ho definito nel post precedente. Se è un numero grande (circa 1000 o più) allora sei in regime turbolento. Se è un numero piccolo (minore di 1) sei in regime laminare.
Nota che:
1) Il regime non dipende solo da velocità, ma anche da viscosità del fluido e da uan lunghezza caratteristica del sistema
2) in tutto l'intervallo tra 1 e 1000 non ci sono formulette semplici come quelle che stiamo discutendo, e la dipendenza da può dipende in modo esplicito dalla geometria del problema.

Frank-95 ha scritto: Non è che un corpo passa di botto da un regime ad un altro. E' una cosa graduale per cui tutte le formule sono approsimazioni di una più generica che vale PER TUTTE LE VELOCITà

Hai perfettamente ragione. Tuttavia, nei limiti delle nostre conoscenze attuali, non possediamo una formula per l'attrito viscoso che vale per tutte le velocità e tutte le geometrie (forme) dell'oggetto immerso in un fluido.
Non dico che non te la fanno studiare, dico che non c'è. La fluidodinamica, specie quella dei moti turbolenti è una delle aree più complesse e difficili della fisica, almeno a mio avviso, e in cui son stati fatti meno passi avanti in assoluto, negli ultimi 150 anni.
Non avendo una formula generale esatta facciamo modelli, per dir almeno qualcosa, limitatamente ai vari casi.

Frank-95 ha scritto: Abbiamo scoperto che la relatività semplicemente non funziona a quei livelli e i fisici stanno cercando di unire quindi relatività e quantistica. Possiamo affermare di conseguenza che anche la meccanica relativistica è imprecisa perchè non esiste che fino ad un certo punto funzioni ad poi no.

Occhio con queste affermazioni ardite.
La meccanica quantistica non è in nessun modo un miglioramento della teoria della relatività, e non vale nemmeno il viceversa. Non è nemmeno vero che la relatività non funzioni più sulle scale microscopiche.
Il punto è che per il modo in cui sono formulate la relatività generale e la meccanica quantistica sono estremamente diverse, proprio per via della matematica usata. Per dire una differenza apprezzabile immediatamente: la relatività generale tratta di oggetti geometrici in 4 dimensioni mentre in quantistica si usano sovente spazi infinitodimensionali.
Ora, esistono situazioni in cui è conveniente usare l'una o l'altra: per discutere galassie, evoluzione dell'universo etc usi la relatività generale e non un approccio quantistico in quanto a scale così grandi gli effetti quantistici son trascurabili. Invece per discutere atomi, molecole e particelle fondamentali usi la meccanica quantistica e trascuri la relatività generale in quanto la forza di gravità è assolutamente trascurabile a masse così piccole.
Non che non valga più, semplicemente la trascuri.
Cosa succede se devi vedere una situazione in cui nessuna delle due è trascurabile (qualcosa di molto piccolo ma pesante, come un buco nero)?
La risposta è boh, perchè dovresti usarle entrambe e non riesci a conciliarle perchè tanto diverse, e così a oggi, non abbiamo una teoria coerente della gravità quantistica.

Inoltre, per quanto riguarda la relatività ristretta, possiamo dire che essa è "più importante della meccanica quantistica" in un certo senso, difficile da precisare a parole senza usar un linguaggio tecinco. La relatività vincola che le leggi della fisica abbiano "una certa forma", e che questa forma non vari al variare del sistema di riferimento inerziale in cui vengono scritte le leggi.
Più che una legge è una "legge delle leggi" o meta-legge. Una qualunque teoria fisica che sia in contrasto con la relatività ristretta non è nemmeno presa in considerazione.

Spero di non averti confuso le idee...

Frank-95 ha scritto: La derivata so che è la retta tangente di ogni punto di una curva.

No. La derivata di una funzione (leggi curva se non sai cosa sia una funzione) puoi pensarla come una nuova funzione (leggi curva) che valutata nel punto mi da il coefficiente angolare della tangente alla prima curva in .
Ovvero


Ma a priori non c'è nessuna identificazione tra la derivata stessa e l'equazione della retta tangente. Ovvero l'espressione può benissimo non essere l'equazione di una retta, e solitamente non lo è.

Frank-95 ha scritto: Un integrale immagino sia una funzione che tiene conto di tutti i cambi di direzione delle derivate nel corso del tempo.

Ancora no. Un integrale di una funzione puoi pensarlo come l'area tra la curva e l'asse x, oppure ancora come l'"operazione inversa della derivata".

Inoltre, chiaramente quelle che ho dato non sono definizioni, ma cose abbastanza imprecise che tuttavia ci tenevo a dirti.
Quello che intendo è che non ti do definizioni esatte perchè ho paura di confonderti in modo peggiore, ma allo stesso tempo trovavo importante correggerti.

Frank-95 ha scritto: Che poi adesso che ci penso in un moto con attrito il moto non è più una parabola perfetta come in quello senza attrito, giusto?

Esatto, questo è giusto. Con attrito la traiettoria del proiettile non sarà più una parabola.


Come ultima cosa ti avviso che io non ho mais eguito a oggi un corso di relatività generale, dunque potrebbero esserci inesattezze in quello che ho scritto sopra. Ma è anche vero che sono in buona fede. Nel senso che per quel poco che ne so non credo che nella formulazione della relatività generale ci sia un vincolo del tipo "funziona solo a scale maggiori di tot".
Credo che la teoria così com'è fatta non abbia vincoli, ma che i problemi nascano dall'inconciliabilità della meccanica quantistica e della relatività generale nei casi in cui una non sia trascurabile rispetto all'altra.

Se per caso passa uno più esperto e legge cavolate, mi corregga! =)

In conclusione ti sei posto un problema legittimo, ma impossibile da trattare in modo completo con le tue conoscenze matematiche attuali.
Inoltre, se la legge oraria esatta di un proiettile con attrito dell'aria sia risolvibile analiticamente in forma chiusa, e per quali espressioni della forza di attrito lo sia, non è chiaro nemmno a me.
Se il problema ti interessa un sacco ti consiglio di portarti avanti in fretta con la matematica della quarte e sopratutto della quinta superiore.

Una volta che avai in mano gli strumenti che il calcolo differenziale ti da la fisica apparirà ai tuoi occhi enormemente più potente e predittiva.

No, quella cosa ha a che fare con una formula di attrito specifico e non per il caso misto (e più difficile) che vorresti considerare tu.

Non ho letto ricontrollando i passaggi ma da una sfogliata rapida mi pare che le dispense dicano cose sensate, a parte il fatto di modellare la forza di attrito con qualcosa di proporzionale a , che, come ti dissi già un pò di tempo fa, per velocità tipiche di proiettili/frecce/palle di cannone in aria è sbagliato.

Probabilmente il professore che ha scritto il file che linki fa così per un motivo semplice: se l'attrito dipende da per qualche diverso da 1 allora il sistema di equazioni differenziali è non lineare. Ciò rende MOLTO più difficile la soluzione. Basta pensare che per sistemi di equazioni differenziali lineari abbiamo una tecnica generale risolutiva, mentre per sistemi non lineari no. (E a volte non sappiamo nemmeno dire se la soluzione esiste ed è unica!).

Dunque l'uomo si semplifica la vita, immaginando un prioettile nel miele...

Frank-95 ha scritto:insomma come sospettavo la realtà è troppo complicata per la fisica.

Correzione: la realtà è troppo complicata per la fisica di cui si può parlare con studenti del liceo.

Cosa intendi?

Frank-95 ha scritto:Quello che intendo è che è normale utilizzare gli strumenti più avanzati che hai per spiegare qualcosa, ma se sai usare questi dovresti saper usare anche metodi più semplici.

Gli strumenti più avanzati si studiano perchè ci sono problemi che si fanno solo con quelli, non perchè è bello poter fare le cose in tanti modi diversi.

Il problema "Trova la legge oraria del proiettile in moto con attrito nella forma " non si risolve senza equazioni differenziali.

Io risolverei i problemi di matematica di un ragazzo di seconda media con equazioni e sistemi.

Quello che ci stai chiedendo di fare tu è equivalente a risolvere un problema di liceo con metodi da seconda media, non il viceversa!

Il punto è che io posso anche spiegare a mia nonna qualitativamente che succede in un moto di un proiettile con attrito. Ma mia nonna, avuta la spiegazione qualitativa si accontenta. Certo non mi chiede di derivarle la legge oraria, e pretende che lo faccia con la matematica che conosce lei (le 4 operazioni nel caso particolare di mia nonna)!

Quindi se devi metterti nei panni della nonna, per questo particolare problema e nella tua situazione, dovresti accontentarti di quanto si è già detto.
Non è che son cattivo e non voglio dirti che succede, non è nemmeno vero che non ho capito bene la dinamica del punto materiale e che dunque non saprei "spiegarla alla nonna", ma veramente in questo caso non si può dare una spiegazione chiara (e nemmeno impostare in modo chiaro il problema) senza usare il calcolo differenziale.