rotolamento su una guida

[BernardRiemann]

Salve mi è stato proposto il seguente problema che mi ha sollevato dei dubbi. Immaginate una guida composta così:un pezzo retta inclinata(stiamo nel piano con gravità) che si raccorda(mettiamo una piccolacorrezione nel raccordo in maniera che tutto sia liscio e non dobbiamo fare ulteriori considerazioni)ad un pezzo di retta orizzontale,la quale si raccorda ad un pezzo di circonferenza sopra alla retta orizzontale(non la consideriamo tutta perchè dovrà passare una pallina in mezzo). Mettiamo un disco omogeneo da fermo di raggio dato(in modo tale che passa sotto il pezzo di circonferenza quando sta sulla retta orizzontale) sulla retta inclinata ad una certa altezza,e sappiamo che avrà un moto di puro rotolamento. Si chiede a che altezza la pallina deve partire affinchè resti sempre sulla guida. Ora io l'ho svolto in un modo che mi lascia piuttosto inquieto e temo fortemente di aver sbagliato:
Il disco può staccarsi quando si trova lungo la circonferenza e direi(per ragioni intuitive chiare)quando si trova sulla circonferenza e ad altezza più grande del raggio. Quello che io ho pensato è che se sto ad altezza più grande del raggio della circonferenza e mi trovo su di essa,fintanto che ho rotolamento ci resto attaccato(così ho formalizzato il vincolo di guida su cui avviene puro rotolamento,ma già questo mi lascia perplesso),quando non c'è rotolamento allora mi posso staccare. Ossia se mi stacco,altrimenti continuo. Questo equivale a chiedere che il centro di massa abbia velocità nulla(per la relazione tra e )il che dalla conservazione dell'energia accade esattamente quando il disco era partito ad un altezza compresa tra R e 2R(dove R è il raggio della circonferenza). Quindi in quei casi il corpo cade,negli altri resta attaccato.
Ora un sacco di cose in questo argomento mi sembrano solo plausibili ma non ce le ho come inconfutabilmente vere in testa,quindi mi chiedevo se è giusto e nel caso se qualcuno mi potrebbe dare degli argomenti più rigorosi(ad esempio penso che così in una gara non la potrei scrivere,sempre supponendo che sia giusto).
CiaoCiao

[Gabry]

Non ho ben capito come sia disposto il sistema soprattutto come possa il disco arrivare ad un'altezza maggiore del raggio quando si trova sulla circonferenza (il disco si muove all'interno della circonferenza giusto?), ma se comunque non vuoi che il disco si stacchi dalla guida circolare allora basta che nel punto più alto della circonferenza la forza centripeta sia maggiore o uguale alla forza peso.

[BernardRiemann]

Metti un segmento di retta inclinata.Poi da un suo estremo prosegui con un segmento orizzontale. Dall'estremo libero prosegui verso l'alto con una circonferenza(di cui però prendi solo un pezzo in maniera da permettere al disco,quando lasciato partire dal piano inclinato,di passare). Mi sembra di capire che quello che dicevo io è tutto toppato

[Gabry]

E' qualcosa di simile al giro della morte che fanno le macchinine nelle piste? Beh se è così non hai considerato proprio il fatto che per mantenersi nella traiettoria circolare la forza di gravità nel punto più alto non deve superare la forza centripeta.

[BernardRiemann]

Si è come il giro della morte. Ad essere sincero io non ho proprio contemplato una "forza centrifuga",ma ho pensato che la situazione è questa:sul baricentro agisce la gravità e una reazione vincolare fintanto che sta attaccato alla traiettoria del "giro",poi le forze che fanno rotolare il sistema non hanno effetto sul suo moto lungo la tangente,quindi questo mi dovrebbe garantire che posso applicare al moto del centro di massa la conservazione dell'energia col potenziale gravitazionale,inoltre ho pensato che fintanto che il disco rotola è costretto a vivere sul giro,ma essendo di rotolamento so che rotola fintanto che il centro di massa ha velocità nonnulla. Quindi se parto da un altezza tale che lungo la circonferenza non ho mai punti in cui il centro di massa ha velocità nulla(quindi più in alto dell'estremità della circonferenza),allora non casco mai. Non è che mi potresti dire dove sono gli errori in questo ragionamento ?
p.s:evidentemente debbo studiarmi meglio queste cose

[Gabry]

Affinchè un corpo si possa muovere lungo una traiettoria circolare la somma delle forze agenti in direzione radiale deve essere esattamente uguale alla forza centripeta. Nel nostro sistema abbiamo (considerando per semplicità il punto più alto, ma vale per qualsiasi altro punto della circonferenza) la forza peso diretta verso il basso e la reazione vincolare della guida (che, considerando la guida come non-deformabile, può assumere un qualunque valore maggiore o uguale a zero) anch'essa verso il basso. Dunque affinchè il corpo si muova lungo questa traiettoria circolare (cioè appunto la somma di queste forze è esattamente uguale alla forza centripeta) basta che la forza peso non superi proprio la forza centripeta (infatti se è minore la reazione vincolare metterà il resto). La conservazione dell'energia è giusto applicarla (serve infatti per calcolare la velocità ai fini della forza centripeta). Posso dirti che è vero che finchè il disco rotola allora rimane nella guida, ma affinchè il disco rotoli è necessaria una forza d'attrito (e quindi una forza normale alla guida, che si annulla se la forza peso supera la forza centripeta). Tuttavia considerando il caso limite in cui la forza centripeta eguaglia la forza peso (nel punto più alto) ti posso dire che il disco non rotolerà in quel punto ma striscerà (in realtà potrebbe strisciare anche in altri punti in base al coefficiente d'attrito) pur rimanendo in una traiettoria circolare.

[BernardRiemann]

Penso di aver capito. Giusto per esserne sicuro provo a mettere in equazioni quello che hai detto:
In pratica finchè il peso è minore della forza il corpo tende a scappare via nella direzione della normale(con un intensità),ma essendoci la guida essa risponde a questo eccesso di forza nella direzione della normale(verso opposto) azzerandolo e lasciando il corpo sul vincolo e praticamente a livello infinitesimale lungo la tangente ci troviamo in una situazione analoga a quella di un corpo che si muove lungo una retta e lo schiacciamo con una forza da sopra e la retta risponde con una reazione vincolare:potrebbero crearsi o meno attriti,il fatto che il moto sia di puro rotolamento è come a dire che gli attriti creano solo un effetto di rotazione del disco attorno al centro di massa ma non danno al centro un impulso orizzontale(ovvero ina ltri termini possiamo applicare la conservazione dell'energia). Quindi dobbiamo semplicemente imporre nel punto più alto,per essere sicuri che abbiamo il moto attaccato sulla guida. Questo dipende dall'altezza iniziale sul piano inclinato in modo banale per la conservazione dell'energia. Mentre nel caso in cui è il caso in cui il corpo tende a cadere verso il basso se ci dimenticassimo della guida,quindi la guida dovrebbe imporre una reazione verso l'alto,che non ci sta(come dici la guida al più compensa il fatto che il corpo va verso fuori non verso dentro). Forse sono stato un pò prolisso e basterebbe scrivere l'equazione sulla normale nel punto più alto e T è positiva per ovvi motivi derivanti dalla situazione(cioè che non c'è una forma di colla sulla guida che vincola il corpo a starci su anche verso l'alto,c'è al più una risposta verso il basso quando il corpo sfasa verso l'alto). Però i commenti di prima mi danno la sensazione di avere più chiara la situazione(ma se ho scritto delle castronerie dimmelo)
Ho quantomeno perso l'inquietudine iniziale e ho la sensazione di una cosa completamente esatta e rigorosa(ma se ci sono falle e non ti secca dimmelo)
Ciao e Grazie
p.s:il fatto di considerare solo il punto più in alto mi sembra si possa giustificare rigorosamente così:nei punti più bassi la forza peso ha componente più piccola sulla normale,e parimenti,l'energia potenziale è più bassa,l'energia cinetica quindi più alta,quindi lo è la forza ,quindi se resta attaccato alla guida per tutto il periodo deve soddisfare la relazione scritta prima nel punto più alto,ma per questo semplice argomento,se la soddisfa nel punto più alto la soddisfa sempre.

[Gabry]

il fatto che il moto sia di puro rotolamento è come a dire che gli attriti creano solo un effetto di rotazione del disco attorno al centro di massa ma non danno al centro un impulso orizzontale

Non per essere pignolo, ma questo potrebbe essere fuorviante in alcune situazioni: di puro rotolamento significa che vale la seguente relazione: infatti se la velocità del centro di massa è superiore alla velocità angolare per il raggio, l'attrito rallenta il cdm e aumenta la velocità angolare del corpo, viceversa se è troppo alta la velocità di rotazione l'attrito rallenta il moto rotatorio del corpo e accelera il moto traslatorio del centro di massa.
Per il resto il ragionamento è corretto (forse un pò contorto però ) anche per il fatto di considerare solo il punto più alto.

P.S. quando calcoli la velocità tramite l'energia non ti scordare l'energia rotazionale e poni

[BernardRiemann]

Ok!Grazie mille della precisazione e di tutte le correzioni.