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Ho provato a risolvere questo problema:

La superficie del Sole ha una temperatura di 5500 °C.
a) Considerando il Sole come un perfetto corpo nero, con un'emittività uguale a 1, calcola la potenza che irradia nello spazio. Il raggio del Sole è , mentre la temperatura nello spazio può essere considerata uguale a 3,0 K.
b) La costante solare è definita come il numero di watt di potenza proveniente dal Sole che cadono su un metro quadro dell'atmosfera terrestre. Usa il valore calcolato nel punto precedente per determinare la costante solare, sapendo che la distanza tra Sole e Terra è di .

Il mio procedimento è stato il seguente.
Il punto a) è semplice. Basta applicare la formula , in cui e è l'emittività (in questo caso e=1), k la costante di Stefan-Boltzmann, A è la superficie del Sole in metri, è la temperatura in K sulla superficie del sole e è la temperatura dell'ambiente circostante, cioè dello spazio aperto.
Passiamo quindi al punto b). Si vuole calcolare quanta parte della potenza calcolata in a) arriva in una metro quadro sulla Terra.
Ho applicato questa proporzione:
(1 metro quadro) : (x) = (distanza terra-sole al quadrato) : (raggio del sole al quadrato).
così mi calcolo a quanta superficie sul sole "corrisponde" un metro quadro sulla terra. Adesso imposto un'altra proporzione:
(x) : (superficie sole) = (costante solare) : (potenza irradiata totale del sole).
E in questo modo mi calcolo la costante solare.
Il problema è che non sono sicuro che l'abbia risolto correttamente. Qualcuno può aiutarmi? Se non sono stato chiaro scrivetemelo.

È molto contorto il ragionamento con le proporzioni, ma l'idea di base è quella e probabilmente è giusto. Invece di farci ricontrollare alcune delle equazioni che hai scritto, guarda se il risultato è corretto...

Il modo che mi sembra più logico per risolvere il problema è dire che, sapendo che l'energia per unità di tempo emessa dal Sole è (quei 3 kelvin dello spazio sono di sicuro trascurabili, soprattutto quando si fa la quarta potenza...), e che questa potenza si distribuisce su una sfera di superficie ( = distanza Terra-Sole), per cui la potenza per unità di area intercettata sulla Terra è .

Ho provato a fare i calcoli e il mio risultato ha la prima cifra decimale diversa rispetto al risultato del libro. Credo che sia un problema di approssimazione. Grazie mille