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Esiste un famoso insieme frattale chiamato Tappeto di Sierpinski.
Supponendo che tale insieme abbia massa e che il quadrato più grande (quello con cui si incomincia il processo) abbia lato trovare il momento di inerzia del tappeto rispetto a un asse perpendicolare e passante per il centro del quadrato grande.

Nota. So che nel mondo reale questo oggetto non esiste. So anche che questo frattale ha area nulla, dunque è molto strano (anche dal punto di vista più teorico) che abbia una massa non nulla. Dovrebbe infatti avere una densità superficiale di massa infinita!!
Tuttavia trovo che questo (non molto facile) problema sia abbastanza istruttivo, quindi lasciatemi supporre che ci sia questo oggetto e che la sua massa sia ...

Buon lavoro!

Se la mia interpretazione del testo (e della figura) è corretta, al passo ci sono quadratini ciascuno di lato , massa e disposti in una matrice quadrata di (dispari) righe e colonne nel tappeto di lato .
Si può istituire un sistema di assi cartesiani , con origine nel centro del quadrato di partenza e assi coincidenti con la riga (colonna) centrale, in modo che ci siano righe nel semiquadrato con le ordinate positive (negative). Il momento d'inerzia richiesto rispetto all'asse può ottenersi per la nota proprietà come somma di quelli (uguali) rispetto agli assi . Sarà . Al crescere di le aree dei quadratini diventeranno sempre più "puntiformi", ce ne saranno per ogni riga - ed avranno lo stesso momento di inerzia rispetto all'asse - essendo la differenza fra le ordinate di due righe consecutive. La distanza di ogni riga dall'asse delle ascisse, la sua ordinata, è un multiplo intero di questa differenza e dovrà elevarsi al quadrato. Riferendosi al semiquadrato con ordinate positive che ha momento di inerzia pari alla metà di e quindi alla quarta parte di ottenibile come limite quando diverge, la somma dei quadrati di questi interi sarà, avvalendosi della nota formula
- da cui
.
Questo risultato appare molto significativo: essendo il coefficiente , esso è 9 volte quello (noto) del quadrato originario, come se la massa fosse stata "spalmata" - così è stato - sul tappeto di lato triplo di quello originario. Sarebbe insomma, come recita il titolo del testo, il momento d'inerzia del tappeto magico. Ovviamente, sempre se...

Purtroppo il risultato non è corretto.
Inoltre, scusami, ma non capisco molto bene il tuo ragionamento. Attenzione che al passo non ci sono quadretti perchè alcuni son rimossi! Tipo al primo passo io divido il quadrato grande in nove quadratini ma tolgo il pezzo centrale.
Se vuoi pensaci ancora...!

Appunto, io pensavo che al primo passo ci fossero quadratini proprio perchè il centrale che li ha generati era stato rimosso. E al passo successivo diventano proprio rimuovendo i 9 precedenti che sono diventati centrali etc. Quindi al passo n ce ne sono proprio
Se questa interpretazione del testo non è corretta, siccome di interpretazione si tratta, dimmi dove è sbagliata e riproverò. Grazie.

Non ci stiamo capendo! Non è "quello che li ha generati" ad essere rimosso. Pensa al primo passo, tanto afferrato quello gli altri sono uguali. Allora dividi il quadrato grande in nove quadrattini come vedi in figura nel sito che ti ho linkato. Dimenticati del grande. Numera i quadrattini da 1 a 9 dall'alto a sinistra, riga per riga, in questo modo
123
456
789

Ora rimuovi il centrale, il 5. Ti rimangono otto quadretti.
Per ognuno di questi itera il procedimento.
E' più chiaro?

Grazie. Sì, credo di capire ma per me la questione finisce qua. Si è aggravato un problema scolastico radicale per cui devo interrompere, non so per quanto, la mia frequenza del forum.

Fedecart ha scritto:Esiste un famoso insieme frattale chiamato Tappeto di Sierpinski.
Supponendo che tale insieme abbia massa e che il quadrato più grande (quello con cui si incomincia il processo) abbia lato trovare il momento di inerzia del tappeto rispetto a un asse perpendicolare e passante per il centro del quadrato grande.

Nota. So che nel mondo reale questo oggetto non esiste. So anche che questo frattale ha area nulla, dunque è molto strano (anche dal punto di vista più teorico) che abbia una massa non nulla. Dovrebbe infatti avere una densità superficiale di massa infinita!!
Tuttavia trovo che questo (non molto facile) problema sia abbastanza istruttivo, quindi lasciatemi supporre che ci sia questo oggetto e che la sua massa sia ...

Buon lavoro!

Sia I il momento d'inerzia del tappeto. Allora, dalla figura, si vede che detto I' il momento d'inerzia rispetto al centro(di massa) di uno degli 8 quadrati e m la sua massa e la distanza del centro dei quadrati che sono agli angoli dal centro del quadrato grande e lo stesso per gli altri quadrati : per il teorema degli assi paralleli
M=8m in quanto tutti e gli 8 quadrati hanno stessa massa
Ogni quadrato ha lato l=L/3 e quindi : e
Quindi
Manca quindi una relazione tra I ed I'. Supponiamo di prendere uno degli 8 quadrati. Lo zoommo al massimo fino ad avere le stesse dimensioni del quadrato originale. Nello zoom la sua area è divenuta 9 volte maggiore e la sua massa m è rimasta costante.
Ricordando che I in generale di un punto con massa è proporzionale al quadrato della sua distanza dal polo e alla sua massa, allora passando da I' ad I si ha: un aumento di 9 per il quadrato della distanza. Ed uno di 8 per la massa(perchè nel nostro caso M = 8m) Quindi : I = 9x8xI' = 72I'


Che porta a

Dopo tanto tempo ho rivisitato il forum e mi ha colpito questa tua soluzione che, non avendo ricevuto repliche, soprattutto da Fedecart, deve essere supposta corretta. Ti prego pertanto, quando avrai tempo, di chiarirmi un paio di punti, visto che per me si è sempre trattato di un testo "bestia nera" quanto a interpretazione -vedi post precedenti.

Omar93 ha scritto: Sia I il momento d'inerzia del tappeto. Allora, dalla figura, si vede che detto I' il momento d'inerzia rispetto al centro(di massa) di uno degli 8 quadrati e m la sua massa.... Quindi

1° punto.
Calcoli I come momento degli 8 quadratini rispetto all'asse verticale per il centro del quadrato di partenza - che, come ogni quadrato, aveva momento . Perchè, secondo te, I è il "momento del tappeto"? Questo degli 8 è solo il primo passo per ottenere il tappeto. Fedecart spiegava che bisogna reiterare e reiterare questo processo per ogni quadratino che si ottiene. Dai primi 8 si passa ai 64 etc.
Nella tua soluzione non c'è nulla di questa reiterazione. O ho capito male?

Omar93 ha scritto: Manca quindi una relazione tra I ed I'. Supponiamo di prendere uno degli 8 quadrati. Lo zoommo al massimo fino ad avere le stesse dimensioni del quadrato originale. Nello zoom la sua area è divenuta 9 volte maggiore e la sua massa m è rimasta costante.
Ricordando che I in generale di un punto con massa è proporzionale al quadrato della sua distanza dal polo e alla sua massa, allora passando da I' ad I si ha: un aumento di 9 per il quadrato della distanza. Ed uno di 8 per la massa(perchè nel nostro caso M = 8m) Quindi : I = 9x8xI' = 72I'

2° punto.
La distanza dei quadratini dal polo, come tu stesso hai riconosciuto, non è la stessa e dunque non può produrre un aumento di 9 volte(?) uguale per tutti. In realtà non c'era bisogno di zoomare per ottenere I', che è il momento di inerzia di un quadrato di massa m=(1/8)M e lato l=L/3. Esso risulta proprio cioè (1/72) di quello del quadrato originario e non, come hai scritto tu, I'= (1/72)I.
Come si vede l'8 deriva dalla massa e il 9 non deriva dalla distanza ma dal lato del quadrato di partenza che è 3 volte maggiore e quindi il suo quadrato 9 volte maggiore.
D'altra parte, all'inizio del tuo discorso dello zoom, tu stesso lo confrontavi con il quadrato originario...
Quindi secondo me la soluzione non è corretta. Siccome Fedecart non ti ha replicato, penso di sbagliare io. Ma dove? Ti prego di aiutarmi.

modesto ha scritto:Non avendo ricevuto repliche, soprattutto da Fedecart, deve essere supposta corretta.

La risposta di Omar è corretta. Scusate se non ho risposto prima, avevo visto il thread e poi mi sono completamente scordato.
Scusa anche se non chiarisco nel dettaglio il procedimento di Omar ma è un periodo che sono un pò sovraccarico e non ho troppo tempo di scrivere. Spero ti chiarisca lui!

L'idea di fondo è
1 Considera il tappeto. Chiama il suo momento di inerzia dove il pedice c è perchè è rispetto a un asse passante per il centro e p perchè è il tappeto "piccolo"
2 Considera uno nove volte più grande, simile al precedente. Chiama il momento di inerzia rispetto a un asse per il centro di questo tappeto grande.
3 Da un lato trovi una relazione tra ed basandoti su ragionamenti di scaling. Di quanto è più grande il lato del tappeto grande? E quanta più massa è coinvolta?
4 Dall'altro lato scrivi spezzando il tappeto in nove pezzi. Un pezzo è vuoto e gli altri otto sono tappeti piccoli. è la somma dei momenti di tutti i tappetini rispetto all'asse per il centro del tappeto grande. Avrai due tipi di contributi diversi. Dovrai usare il teorema degli assi paralleli (o di Steiner che dir si voglia) per riportare tutti questi contributi a degli
5 Uguaglia le due espressioni diverse che hai per e risolvi per
Prova!

Come al solito mi spiego male...
Comunque

modesto ha scritto: 2° punto.
La distanza dei quadratini dal polo, come tu stesso hai riconosciuto, non è la stessa e dunque non può produrre un aumento di 9 volte(?) uguale per tutti. In realtà non c'era bisogno di zoomare per ottenere I', che è il momento di inerzia di un quadrato di massa m=(1/8)M e lato l=L/3. Esso risulta proprio cioè (1/72) di quello del quadrato originario e non, come hai scritto tu, I'= (1/72)I.
Come si vede l'8 deriva dalla massa e il 9 non deriva dalla distanza ma dal lato del quadrato di partenza che è 3 volte maggiore e quindi il suo quadrato 9 volte maggiore.

Guarda che abbiamo scritto la stessa cosa...
I' è il momento d'inerzia di un quadratino rispetto al suo centro. I quello del quadrato rispetto al suo centro.
Se così non hai capito, e ora si, allora spero che sia chiara la mia spiegazione.
Ma se hai compreso in tal modo allora ti risponderò dopo che l'avrai fatto con questa mia domanda così non creiamo troppa confusione.

Poi non capisco una cosa. Se ho capito bene tu dici che i quadrati piccoli hanno momento d'inerzia rispetto al loro centro pari a
Ma allora così il problema era già finito, o intendevi qualcos'altro??