Atterraggio su pianeta alieno

[Falco5x]

Tralasciando per un momento aste, molle e palle terrestri in cerca di più ampi orizzonti, mi sposto nello spazio alieno e vi propongo un incubo elaborato nel corso di una notte insonne.

Un’astronave sorvola orizzontalmente ad altezza costante h un pianeta privo di atmosfera e con accelerazione di gravità g (assunta costante nel tratto tra il suolo e la quota di volo qui considerata).
L’astronave inizialmente lanciata a forte velocità rallenta fino a quando, raggiunta la velocità , sgancia un modulo di atterraggio dotato di razzi frenanti che operano esclusivamente in direzione tangenziale rispetto alla traiettoria seguita. Il modulo è pilotato da un computer in grado di controllare la quantità di combustibile consumato nel tempo (espulso sotto forma di gas), regolandolo in modo da far assumere alla traiettoria la forma di un arco di circonferenza.



Ulteriori ipotesi:
- pianeta considerato sistema di riferimento inerziale a superficie piana
- energia specifica efficace del carburante (quota di energia per massa unitaria di carburante che si trasforma in energia cinetica di modulo + gas): si effettuino le opportune approssimazioni assumendo sempre

Si chiede quanto segue.
- Verificare che alle condizioni specificate il modulo giunge a terra indenne.
- Nota la massa iniziale del modulo determinare la massa del carburante consumato; applicare al caso , ,

[CoNVeRGe.]

Può essere che la massa sia ?

[Falco5x]

Può essere che la massa sia ?

Premesso che la soluzione non la conosco (nel senso che questo esercizio l'ho inventato io, e quindi non è un esercizio del quale la soluzione sia già nota), e premesso anche che non sono infallibile , tutto ciò premesso a me viene circa 260 kg.
Sarei curioso di sapere come hai ragionato.

[CoNVeRGe.]

Chiedevo appunto perchè ho fatto una cosa che non so se si puo fare...

Ho scritto questa equazione energetica sulla discesa del modulo:



con , , e tutti negativi.

Da sopra si ottiene:



Ora si puo integrare tutto assieme dal punto di partenza al punto di atterraggio? Non lo so..

[Falco5x]

Ho scritto questa equazione energetica sulla discesa del modulo:



con , , e tutti negativi.

Direi che non puoi fare così. Infatti come puoi immaginare la maggior parte dell'energia del combustibile si trasforma in energia cinetica dei gas espulsi (che in questo tuo bilancio non compaiono!), i quali vanno velocissimi rispetto al modulo.
Il modulo frena a causa del principio di azione-reazione, e dunque va fatto un bilancio di quantità di moto, non puoi usare così direttamente l'energia del combustibile come se fosse quella dissipata da un freno!

[CoNVeRGe.]

Ah ecco, mi ero scordato cosa fosse precisamente ...
Ora provo a capire come si puo utilizzare.

[CoNVeRGe.]

Il problema mi sta creando problemi

Intanto posto un paio di cose utili e la risposta alla prima richiesta, in attesa di qualche hint:

Dal disegno si evince che la tangente alla circonferenza tracciata dal modulo è perpendicolare al suolo nel punto di contatto con il suolo stesso. L'arco descritto quindi è un quarto di circonferenza.

Siano e le accelerazioni del modulo in direzione radiale e tangenziale alla circonferenza, si ha per un generico punto della circonferenza:




con:
l'angolo che una retta verticale fa con la retta che congiunge il punto-posizione con il centro della circonferenza
la massa del modulo
la forza frenante a cui è sottoposto il modulo grazie al combustibile

Affinchè il moto sia circolare è necessario che la forza diretta radialmente sia istante per istante centripeta, quindi:



Il modulo al momento dell'atterraggio ha dunque velocità nulla e rimane indenne.



perchè e .

Da sopra si ottiene:





Ora le conservazioni dell'energia e della quantità di moto tra due istanti vicinissimi:





con
la velocità del carburante espulso in quell'istante
la quantità positiva di carburante espulso
la variazione, negativa, della velocità del modulo
la variazione, negativa, della quota del modulo

Mettendo a sistema e trascurando vari infinitesimi si ottiene:



Direi che non sono sulla strada giusta

[Falco5x]

La prima parte è sostanzialmente giusta; solo un paio di piccole osservazioni.
Il fatto che l'arco sia 1/4 di circonferenza non si deve evincere dal disegno! deve essere una conseguenza della verifica, e allora la verifica dice che se h = R, dove R è il raggio della traiettoria circolare, allora la velocità al punto di contatto col suolo è nulla. E infatti questo l'hai trovato, però hai invertito premessa e conclusione. Però poco male, le considerazioni sulle accelerazioni e i valori trovati sono corretti. Anche se quella che tu chiami a in realtà non è l'accelerazione del modulo (la quale è invece la somma vettoriale di accelerazione normale più tangenziale), ma è la forza frenante divisa per la massa, tra l'altro col segno sbagliato.
Insomma facendo un po' di pulizia direi:









dove quest'ultima è la forza motrice, ovvero in questo caso frenante perché ha segno meno, e rappresenta la spinta pura del motore.

Per quanto riguarda il seguito prima di dire se va bene aspetto di vedere se arrivi da qualche parte...

[CoNVeRGe.]

Anche se quella che tu chiami a in realtà non è l'accelerazione del modulo (la quale è invece la somma vettoriale di accelerazione normale più tangenziale), ma è la forza frenante divisa per la massa, tra l'altro col segno sbagliato.

Avevo scritto che quindi con a intendevo l'accelerazione frenante. Sul fatto del segno è il solito discorso, non so come devo metterlo. Avevo comunque posto F col segno meno nell'equazione sulla direzione tangenziale, e questo spiega il segno positivo di a.

Per quanto riguarda il mio primo punto effettivamente l'ho trovato un po' ambiguo, osservando il disegno ho deciso di voler far atterrare il modulo sulle zampe

[Pairo]

Avrei una domanda su come avete calcolato la derivata rispetto al tempo per trovare l'accelerazione tangenziale, visto che è in funzione di ? Grazie mille!