sns 2012 n.1

[Gabry]

Non è detto che la rotazione è trascurabile dato che d>>R e nemmeno il fatto che R sia al quadrato mi rassicura: se fosse inferiore a 1 metro (e un satellite di quasi due metri di diametro mi sembra abbastanza ragionevole) sarebbe ancora peggio quindi sicuramente è trascurabile ma non lo è necessariamente .
Forse non mi hai capito prima dell'urto vale la relazione non essendoci forze esterne al sistema quindi maggiore è la resistività maggiore il calore perduto minore l'energia cinetica ma nel complesso l'energia si conserva quindi basta prendere l'energia dell'istante iniziale e quella dell'istante finale.
Per quanto riguarda il fatto della forza centrale: le cariche si spostano. Prendiamo ad esempio le cariche immagine che sono lungo la congiungente i due centri: quando la sfera ruota anche le cariche immagine devono spostarsi per rimanere lungo la congiungente i due centri le cariche, proprio a causa della resistività, incontrano una certa resistenza (è cioè necessario del lavoro per spostarle) la sferetta quindi le "Trascina" risentendo anch'essa per il principio di azione e reazione di quello che possiamo definire una specie di "attrito" elettrico.

[Bolzo88]

E' buffo poi che il calore che si sviluppa nel satellite non dipenda dalla sua resistività mentre ne dipenderebbe l'energia cinetica della sferetta! Ma quest'ultima è calcolabile ed è stata calcolata - ti prego di leggere anche quello che scrivono gli interlocutori - con la conservazione dell'energia: dipende dall'energia potenziale della sferetta medesima nel campo delle immagini sul satellite ed è ASSOLUTAMENTE INDIPENDENTE sia dalla resistività che dal materiale di cui è costituito il satellite-conduttore, sia esso super o semi.

Ti rispondo su questo che mi sembra un dubbio importante da risolvere.
Se ho capito bene, tu dici: risolvendo il problema come avresti voluto fare te, trovi l'energia cinetica della sferetta subito prima dell'urto, che e' evidentemente indipendente da , e il calore dissipato prima dell'urto, che altrettanto evidentemente e' dipendente da .
La somma di queste due quantita' e' il calore totale dissipato.
Io affermo che il calore totale dissipato non dipende da . Tu giustamente chiedi: come fa a non dipendere la la somma di una quantita' che non dipende da e di una che ci dipende? Effettivamente non puo', quindi vuol dire che c'e' un errore concettuale o nella mia soluzione o nella tua.

Secondo me l'errore sta nella tua soluzione e ti spiego perche'. Nella tua soluzione, se riuscissi a portare a termine i conti, assumeresti che in ogni momento fino all'urto la distribuzione di carica sul satellite e' quella determinata con l'elettrostatica, come se il satellite fosse fermo. Questo, pero', puo' essere falso, specialmente nella fase subito prima dell'urto, in cui un sacco di carica dovrebbe andare a concentrarsi in un'area quasi puntiforme davanti al satellite in pochissimo tempo. La presenza di una resistivita' puo' rallentare questo processo (e di quanto viene rallentato dipende dalla resistivita'), facendolo terminare dopo che sfera e satellite si sono urtati. Questo vorrebbe dire che, al momento dell'urto, non ancora tutto il calore dissipabile attraverso la resistenza e' stato dissipato. Aggiungo che la distribuzione di carica che non ha ancora raggiunto l'equilibrio ti obbligherebbe a ricalcolare il potenziale, che a questo punto dipenderebbe pure quello da . Insomma, considerando questo effetto (che non avevamo considerato finora) affrontare il problema in questo modo diventa ancora piu' complicato e cade la tua acuta obiezione.

[modesto]

Non è detto che la rotazione è trascurabile dato che d>>R e nemmeno il fatto che R sia al quadrato mi rassicura: se fosse inferiore a 1 metro (e un satellite di quasi due metri di diametro mi sembra abbastanza ragionevole) sarebbe ancora peggio quindi sicuramente è trascurabile ma non lo è necessariamente .
Forse non mi hai capito prima dell'urto vale la relazione non essendoci forze esterne al sistema quindi maggiore è la resistività maggiore il calore perduto minore l'energia cinetica ma nel complesso l'energia si conserva quindi basta prendere l'energia dell'istante iniziale e quella dell'istante finale.
Per quanto riguarda il fatto della forza centrale: le cariche si spostano. Prendiamo ad esempio le cariche immagine che sono lungo la congiungente i due centri: quando la sfera ruota anche le cariche immagine devono spostarsi per rimanere lungo la congiungente i due centri le cariche, proprio a causa della resistività, incontrano una certa resistenza (è cioè necessario del lavoro per spostarle) la sferetta quindi le "Trascina" risentendo anch'essa per il principio di azione e reazione di quello che possiamo definire una specie di "attrito" elettrico.

Tutto il problema può risolversi solo se si fa coincidere il baricentro del sistema con il centro del satellite mettendosi quindi nel sistema di riferimento con centro nel satellite. Te ne rendi conto se calcoli posizione, velocità e accelerazione del baricentro: la condizione M>>m impone che siano praticamente coincidenti con quelle del centro del satellite cioè nulle se si prende l'origine nel centro di massa. Rispetto a questo riferimento la tua conservazione del momento angolare non ha senso e quindi è inutile disquisire se d>>R compensa M>>m. Ancora una volta ti invito a leggere i messaggi.
Inoltre la forza di interazione fra satellite e sfera non dipende dalla resistenza incontrata dalle cariche reali nel satellite nè tantomeno da quella incontrata dalle immagini che non esiste! Essa dipende solo da cariche e distanze. Il momento di inerzia che conta è quello della sfera rispetto al centro del satellite non quello delle cariche che sono puntiformi e prive di massa nella teoria delle immagini quando solo da un punto di vista elettrico rappresentano le cariche reali con massa. Da un punto di vista meccanico NON HANNO ALCUN DIRITTO DI RAPPRESENTANZA.

[modesto]

Secondo me l'errore sta nella tua soluzione e ti spiego perche'. Nella tua soluzione, se riuscissi a portare a termine i conti, assumeresti che in ogni momento fino all'urto la distribuzione di carica sul satellite e' quella determinata con l'elettrostatica, come se il satellite fosse fermo. Questo, pero', puo' essere falso, specialmente nella fase subito prima dell'urto, in cui un sacco di carica dovrebbe andare a concentrarsi in un'area quasi puntiforme davanti al satellite in pochissimo tempo. La presenza di una resistivita' puo' rallentare questo processo (e di quanto viene rallentato dipende dalla resistivita'), facendolo terminare dopo che sfera e satellite si sono urtati. Questo vorrebbe dire che, al momento dell'urto, non ancora tutto il calore dissipabile attraverso la resistenza e' stato dissipato. Aggiungo che la distribuzione di carica che non ha ancora raggiunto l'equilibrio ti obbligherebbe a ricalcolare il potenziale, che a questo punto dipenderebbe pure quello da . Insomma, considerando questo effetto (che non avevamo considerato finora) affrontare il problema in questo modo diventa ancora piu' complicato e cade la tua acuta obiezione.

Ma il satellite è fermo- vedi anche risposta a Gabry. Questi movimenti di cariche, essendo interni al sallite, non spostano ovviamente il suo baricentro nè ne determinano la rotazione.
Per quanto riguarda il calcolo del calore non ho usato il potenziale. Si tratta come sai di calcolare l'integrale del quadrato di I per la resistenza in dt esteso al tempo del processo. Ho già detto che esiste un teorema della media che dice che esiste un valore del quadrato di I da essa assunto durante quel tempo che, moltiplicato per la durata, dà il valore dell'integrale. Io penso che, durante il processo, I al quadrato che è continua assuma il valore q al quadrato fratto durata al quadrato. Ed in questo consiste la mia approssimazione SE c'è. La rapidità finale o il riassetto delle cariche non c'entrano. Quello che conta è che durante la durata del processo q coulomb raggiungano la superficie: e questo è ciò che avviene e ciò che ho calcolato.
Infine, anche se non ne ho titolo, vi inviterei come io ho fatto e come tu hai fatto - ma solo per il punto1.- a fornire valori e non congetture. Solo così si può controllare o essere controllati.
Ieri ti sei dichiarato d'accordo con Gabry nei punti 2.e3. Al punto 2. non ha fornito nessuna quantità di calore, come il testo richiede. Al punto 3. dice che la velocità impressa deve essere piccola perchè sennò potrebbe rimanere in orbita(quale?) o sfuggire dal campo di forza(velocità di fuga?). Non dice invece che deve essere piccola e quanto lo deve essere perchè altrimenti non impatta il satellite. Che condizione deve soddisfare quantitativamente parlando perchè lo impatti dal momento che al punto 2. bisognava rifare i conti sotto questa ipotesi?? Ma come fai a dirti d'accordo? Quindi secondo me ci divide anche una questione di metodo.

[Gabry]

Ma il satellite è fermo- vedi anche risposta a Gabry. Questi movimenti di cariche, essendo interni al sallite, non spostano ovviamente il suo baricentro nè ne determinano la rotazione.

Il satellite non è fermo, ma avendo una massa molto più grande è come se lo fosse, cosa che non si può dire per la rotazione perchè il momento angolare della sfera a distanza d è grande.

Ieri ti sei dichiarato d'accordo con Gabry nei punti 2.e3. Al punto 2. non ha fornito nessuna quantità di calore, come il testo richiede.

Non l'ho fatto perchè non ne ho avuto il tempo tuttavia si tratta semplicemente di aggiungere una quantità nella relazione precedente, appena starò un pò meglio (con la febbre e il mal di testa non mi sento di fare calcoli) se proprio vuoi posto il risultato.

Al punto 3. dice che la velocità impressa deve essere piccola perchè sennò potrebbe rimanere in orbita(quale?) o sfuggire dal campo di forza(velocità di fuga?). Non dice invece che deve essere piccola e quanto lo deve essere perchè altrimenti non impatta il satellite. Che condizione deve soddisfare quantitativamente parlando perchè lo impatti dal momento che al punto 2. bisognava rifare i conti sotto questa ipotesi??

La domanda non chiede una risposta quantitativa ma semplicemente qualitativa (perchè e non quanto deve essere piccola) anche perchè altrimenti bisognerebbe usare il metodo delle cariche immagini che non è contemplato nel syllabus (e non ti danno nemmeno sufficienti indicazioni per poterlo intuire da solo, il fatto che una distribuzione di carica abbastanza complessa può essere simulata da una o due cariche puntiformi dovrebbe essere dimostrato e dire che così il potenziale in alcuni punti del satellite è uguale non basta).

[Bolzo88]

Ma il satellite è fermo- vedi anche risposta a Gabry. Questi movimenti di cariche, essendo interni al sallite, non spostano ovviamente il suo baricentro nè ne determinano la rotazione.

Chiedo scusa, volevo dire la sferetta, non il satellite.

[modesto]

La domanda non chiede una risposta quantitativa ma semplicemente qualitativa (perchè e non quanto deve essere piccola) anche perchè altrimenti bisognerebbe usare il metodo delle cariche immagini che non è contemplato nel syllabus (e non ti danno nemmeno sufficienti indicazioni per poterlo intuire da solo, il fatto che una distribuzione di carica abbastanza complessa può essere simulata da una o due cariche puntiformi dovrebbe essere dimostrato e dire che così il potenziale in alcuni punti del satellite è uguale non basta).

Ti faccio i migliori auguri di pronta guarigione!
Io ho dimostrato che si poteva fare a prescindere dalla teoria delle immagini non prevista dal Syllabus. Infatti il potenziale di q nel centro del satellite (e quindi sulla sua superficie essendo equipotenziale) quando la sfera dista x è identico a quello generato sulla superficie da posta nel suo centro (che poi sarebbe la prima immagine). Siccome il satellite è a carica totale nulla ci deve essere una carica indotta opposta a questa. Dove deve stare la sua rappresentante? Sulla congiungente i centri ad una distanza dal centro tale da generare sulla superficie, insieme a q, potenziale NULLO. In modo che l'unico potenziale COSTANTE sia quello della prima immagine. Imponendo la condizione si trova che questa carica opposta alla prima immagine (seconda immagine) deve distare dal centro. Quindi senza conoscere la teoria delle immagini uno le poteva ...ricostruire. L'ho scritto in uno dei miei post...
Infine non c'entrano le immagini sulla piccolezza di v. Infatti conservando il momento angolare rispetto al centro, che finalmente dici "è come se fosse fisso..", la sferetta si avvicina al satellite - perchè il suo moto radiale rimane inalterato - aumentando la velocità ortogonale alla congiungente ma perdendo in momento di inerzia.La velocità massima la raggiunge ad R+r. Se essa è tale che nel tempo del processo (che io ho trovato) avrebbe percorso meno di un quarto di circonferenza di raggio R, allora l'impatto AVVIENE. E' questa la condizione che determina la "piccolezza" di v. Se hai la pazienza di leggere la mia soluzione...

[Gabry]

finalmente dici "è come se fosse fisso..",

Come se fosse fisso per quanto riguarda la traslazione, non per quanto riguarda la rotazione dato che ho spiegato più volte che anche il satellite inizia a girare e il momento angolare della sferetta non è piccolo. Perchè mai in quel tempo dovrebbe aver percorso meno di un quarto di circonferenza per impattare? La sfera potrebbe percorrere uno o anche più giri per impattare, infatti un corpo che non possiede velocità in direzione radiale direzionata verso l'esterno (e questo si può verificare facilmente avendo conoscenza del potenziale efficace che anche se non è presente nel syllabus nulla vieta possa essere usato semplicemente per rassicurarsi su una determinata condizione) non può sfuggire dall'effetto dell'attrazione dovuta ad una forza diretta verso il centro.


P.S. ammettiamo pure di poter assumere che il satellite non ruoti, cioè la sferetta non compia lavoro per spostare le cariche (mi pare che tu stia considerando questa ipotesi) o almeno approssimiamo che la velocità della sferetta sia talmente piccola che la velocità angolare acquistata dal satellite resti molto piccola allora effettivamente la sferetta se si sposta più di 90° non impatterà il satellite, ma entrerà in un orbita ellittica (il che non aggiunge nulla alla mia spiegazione qualitativa se non quantià non richieste su cui non sono d'accordo sul metodo con cui sono state ottenute), tuttavia non mi convince il modo con cui hai calcolato il tempo secondo me sarebbe stato meglio considerare l'ellisse tangente al satellite passante per la sferetta a distanza d e avente il centro del satellite come uno dei fuochi e attraverso la conservazione del momento angolare e dell'energia (ricordandosi le dispersioni di calore se non sono trascurabili) calcolarsi la velocità v per cui la sfera segue quest'orbita (che poi è la massima velocità perchè con velocità minori la sfera seguirebbe traiettorie ellittiche più strette per cui impatterebbe sicuramente il satellite, con velocità maggiori non impatterebbe).
Secondo me la domanda richiedeva semplicemente una risposta qualitativa e anche se così non fosse non vedo perchè si debba trascurare il lavoro compiuto dalla sferetta nello spostare le cariche sul satellite dato che è presente una certa resistività.

[Bolzo88]

Ragazzi lasciate perdere i conti quantitativi sulle orbite in questo problema, non li so fare io dopo cinque anni di universita'...
Tenete presente che abbiamo a che fare con un potenziale che fa schifo, non e' proporzionale a , quindi le orbite non sono ellittiche.

[Gabry]

Posto i calcoli come avevo detto:
1) L'energia della sfera isolata vale quella del satellite isolato (trascurando la sfera date le sue dimensioni) dopo l'impatto vale quindi dalla conservazione dell'energia: trascurando l'energia cinetica residua considerando il satellite fermo. Essendo R>>r l'energia finale del satellite è trascurabile quindi abbiamo

2) Essendo il sistema isolato il momento angolare totale si conserva quindi (nel momento di inerzia si è trascurato quello della sfera dopo l'urto date le sue piccole dimensioni. Quindi (di questa quantità come ho detto precedentemente non si può essere sicuri che sia piccola). Dalla conservazione dell'energia trascurando nuovamente E2 abbiamo

Negli altri due punti discussi in precedenza non erano necessari calcoli.