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Carmelo ha scritto: 2. I punti di un piano sono colorati in bianco o in nero, in modo vario. Dimostra che, indipendentemente da come sono colorati i punti, si può trovare un triangolo equilatero con i tre vertici dello stesso colore.

Preso dallo scritto di matematica dell'anno scorso della SSC

Dato che immagino possa interessare un po' di persone, resuscito questa discussione così che sia visibile a tutti e non solo a quelli che mi hanno chiesto personalmente come sono gli orali!

Per quanto riguarda , si può fare così.
Consideriamo una successione di polinomi tali che (polinomi di chebyshev).
Notiamo che . Inoltre, dal fatto che (prostaferesi):

si ha

che è una relazione di ricorrenza che ci permette di trovare, con qualche conticino:

le cui soluzioni corrispondono a quegli tali che ossia : . Non poniamo direttamente , altrimenti chi cacchio la sa risolvere? Dunque, risolvendo si trova

Visto che , abbiamo .
Prima per trovare avevamo trovato anche , da cui

Per quanto riguarda invece il piano colorato di bianco e di nero, consideriamo un punto bianco e un esagono . Supponiamo per assurdo che non ci siano triangoli equilateri con vertici dello stesso colore.

Sicuramente contiene almeno un punto bianco, wlog , altrimenti ci sarebbe un triangolo nero. I punti sono invece di certo neri, altrimenti si formerebbe un triangolo equilatero con . Dunque deve essere bianco, altrimenti si formerebbe un triangolo nero . Finiamo di colorare notando che devono essere neri, altrimenti formerebbero un triangolo con .

Consideriamo il punto diverso da che forma un triangolo equilatero con . Se fosse nero, allora sarebbe un triangolo eq. nero. Se fosse bianco, allora sarebbe un triangolo eq. bianco, assurdo. Perciò esiste un triangolo equilatero con vertici dello stesso colore.