Sfera in una doppia guida

[Higgs]

3. A me risulterebbe

[Tarapìa Tapioco]

Due pezzi rettangolari di metallo vengono uniti ad angolo retto, formando una guida con due superfici, che viene poi inclinata di un angolo . Una sfera di legno scende giu' per la guida, rotolando senza strisciare. La figura mostra l'immagine di lato, e poi frontalmente, vista dal basso.

1.) Quale punto sulla superficie della sfera ha massima velocita' istantanea?
2.) Se e' la velocita' con cui scende la sfera, che velocita' ha quel punto?
3.) Quanto vale, al minimo, il coefficiente di attrito statico tra metallo e legno?

Questo è un problema parecchio interessante, che tuttavia si presta a varie interpretazioni, alcune delle quali veramente complicate da dipanare e risolvere. Meglio ancora, è possibile dire che tale caso teorico chieda e ammetta di essere risolto guardando ad una situazione fisica quanto più realistica possibile, di cui le idealizzazioni sono casi limite che, in linea di principio, andrebbero osservati e analizzati soltanto dopo aver affrontato il modello più generale possibile. Poiché la configurazione reale sarebbe lunga da risolvere e discutere, e per di più non così proficua, dal punto di vista dei dati a disposizione, come il caso banale, si sceglierà quest'ultimo come particolare argomento dello svolgimento di questo problema. Parimenti, tuttavia, non si vuole precludere la possibilità di affrontare il problema dalla radice della sua esistenza: per questo motivo, in chiusura di lettura (cfr. Conclusione), si offrirà un possibile (soltanto tale, con nessuna ulteriore pretesa) spunto per una teoria leggermente più complessa.

In prima istanza, si consideri la situazione fisica.

1.) Nel modello fisico mostrato in basso, è ben visibile come la sfera tocchi la doppia guida in due punti di contatto e in modo che, in essi, la palla sia tangente, rispettivamente, alle due barre sinistra e destra che compongono il profilo della guida: dal momento che la sfera è assimilabile a un corpo rigido omogeneo (costituito da una distribuzione continua della massa, con densità in ogni suo punto costante nel tempo e con una forma determinata invariabile nel tempo tale che la distanza tra due suoi punti qualsiasi rimanga immutata nel tempo), ogni punto giacente nell'asse passante per i due punti di tangenza è fermo rispetto all'incavo a V.



Pertanto, se la sfera rotola senza slittare, essa compie una rotazione: l'asse di rotazione, attorno al quale tutti i punti della sfera ruotano con una comune velocità angolare , è quello passante per e (raffigurato in alto con una linea rossa tratteggiata). La velocità lineare istantanea dei punti della sfera rispetto al centro di massa di quest'ultima, più impropriamente detta velocità di rotazione dei punti periferici della ruota, è data dal prodotto vettoriale , ove è il vettore posizione, perpendicolare all'asse , di un punto della sfera rispetto al centro di massa. Dunque, la velocità lineare istantanea è massima quando massimo è il prodotto vettoriale. Poiché il prodotto vettoriale in esame si calcola come: , con angolo compreso tra il vettore velocità lineare e il vettore posizione , allora esso sarà massimo in corrispondenza del valore massimo di , cioè , che si ha per . Pertanto, la massima velocità istantanea è posseduta dalla sfera nel punto avente perpendicolare a , cioè parallela all'asse di rotazione. Poiché, se il corpo ruota attorno ad un asse fisso passante per i punti di contatto, la velocità di ogni punto della sfera è ortogonale alla congiungente del punto con il centro di massa , allora questa descrizione corrisponde al punto avente massima distanza (dunque, più lontano) dall'intersezione delle due lastre metalliche formanti la guida a doppia superficie (o, alternativamente, dall'asse di rotazione ), cioè . In definitiva, Q è il punto avente la massima velocità istantanea, di modulo ,
dove è la distanza del punto dal centro di massa , pari al raggio della sfera.

2.) In una condizione di puro rotolamento (senza l'occorrenza dello scivolamento), il punto di contatto tra corpo rotante e superficie di appoggio è istante per istante fermo. Poiché, nella particolare situazione mostrata nella Figura sopra, la sfera possiede due punti di contatto e con la guida a forma di V composta dall'assemblaggio dei due piani metallici rettangolari, allora l'asse di rotazione passante per e (mostrato in Figura con una linea rossa tratteggiata) è istantaneamente fermo, stazionario rispetto alla guida (dunque, la sua velocità assoluta è nulla) mentre in ogni intervallo di tempo tutti i punti della sfera ruotano attorno a tale asse geometrico con la medesima velocità angolare (uguale rispetto a qualsiasi asse fisso si scelga). Per il teorema delle velocità relative in moto relativo per pura rotazione, si ha , dove: è la velocità assoluta di un qualsiasi punto della sfera; è la velocità di trascinamento, ossia la velocità del centro di massa della sfera; è la velocità lineare del generico punto della sfera rispetto al centro di massa, pari a , dove è il vettore posizione del punto rispetto al centro di massa e è la velocità angolare costante con cui ruotano i punti del corpo attorno all'asse istantaneo di rotazione . Per quest'ultimo, si ha:

, dove con si indica il vettore posizione dei punti giacenti nell'asse di rotazione istantaneo rispetto al centro di massa e con il modulo della distanza del centro dall'asse di rotazione. Poiché la condizione di puro rotolamento impone che la velocità dei punti di contatto (e dunque, in questo caso, dell'asse di rotazione) sia nulla, si ha:
. In modulo: , con prodotto vettoriale massimo in quanto . Detto l'angolo formato dalle due lastre metalliche, dallo schema grafico sopra è possibile notare come l'angolo compreso tra l'asse di rotazione istantaneo passante per e e la congiungente al centro di ognuno dei punti di contatto e (coincidente con la misura del raggio ) sia pari a . Dunque, . Sostituendo nell'equazione di , si ha:

.

Ricavando dalla , si ha:

. Sostituendo tale valore nella riquadrata in alto:

. Poiché i due piani metallici della guida sono perpendicolari tra loro, l'angolo tra essi è . Sostituendo nell'equazione di poc'anzi riquadrata, si ha:

.

Analogamente al teorema delle velocità relative nei moti relativi per pura rotazione enunciato precedentemente, si ha:

.

Osservazione. Si noti come la velocità di un qualsiasi punto della sfera si possa calcolare moltiplicando il modulo della velocità del centro di massa per il rapporto tra la distanza di tale punto dall'asse istantaneo di rotazione e la distanza di quest'ultimo dal centro di massa. In questo specifico caso, la velocità del punto è data dal prodotto tra la velocità del centro di massa e il rapporto tra (distanza di da ) e (distanza di da ). Dunque:

, che corrisponde al risultato precedentemente trovato.

Nota. È errato sostenere che a muoversi con massima velocità istantanea sia il punto sommitale della sfera, ovvero il suo punto più alto: la corretta formulazione della proposta restituisce, invece, che il punto della sfera più lontano dall'intersezione dei due piatti metallici perpendicolari, ovvero quello ubicato alla massima distanza da quest'ultima (e, dunque, dall'asse di rotazione), abbia velocità lineare maggiore di ogni altro punto dello stesso corpo. Per corroborare ciò, si consideri un caso estremo particolare. Si supponga che i due pilastri metallici della doppia guida a V siano verticali: benché il disegno proposto come modellizzazione grafica della situazione fisica presenti una determinata immagine, raffigurante i piani della guida in posizione orizzontale, il testo del problema non sconfessa la possibilità di assumere una situazione del genere, dal momento che unica condizione vincolante posta da esso è l'ortogonalità delle due piastre, ivi ancora mantenuta. Si faccia riferimento alla Figura sottostante.



Questa situazione testé enunciata corrisponde al modello del problema (lamine della guida orizzontali e perpendicolari) ruotato di in senso antiorario (o, alternativamente, orario). Si analizzino separatamente le condizioni dei due punti critici, quello situato in cima alla sfera e quello più lontano dall'intersezione dei piani del supporto a V.
Il punto in cima alla sfera si trova a una distanza verticale pari a sopra il centro di massa e, giacendo sull'asse passante per quest'ultimo, dista orizzontalmente dall'asse di rotazione quanto da , cioè . Dunque, la distanza complessiva di da è data dalla somma vettoriale delle distanze verticale e orizzontale , cioè, per il Teorema di Pitagora:

.

Adottando il procedimento dedotto nell'Osservazione, si ha che la velocità del punto più alto della sfera è data dal prodotto tra la velocità del centro di massa e il rapporto tra la distanza di dall'asse istantaneo di rotazione e la distanza da esso del centro di massa . Dunque:

. Dunque, la cima della sfera si muove molto più velocemente del centro di massa.

Il punto massimamente distante dall'intersezione delle assi della guida preserva le medesime condizioni del modello a piatti orizzontali rispetto all'asse istantaneo di rotazione, distando da esso - anche se, stavolta, in orizzontale - sempre . Dunque, anche in questo peculiare caso, la velocità di quale punto precedentemente e specificamente definito, mantiene un modulo .

Poiché , allora , dunque . Dunque, si può concludere che , cioè che la velocità di un punto alla massima distanza dall'intersezione dei piani metallici (ortogonali) è strettamente maggiore della velocità di un punto situato sulla vetta della sfera, e dunque corrisponde alla velocità lineare istantanea massima della palla.


3. Al fine di calcolare il minimo coefficiente d'attrito statico tra legno e metallo, cioè tra sfera e guida, è necessario analizzare le forze (e i momenti torcenti da esse prodotti) agenti sul sistema da due differenti visioni, una frontale e una laterale; soltanto dopo, si potrà procedere con l'applicazione delle due equazioni cardinali, che permetterà di determinare la forza d'attrito esercitata dalla guida sul corpo, quindi il minimo coefficiente d'attrito che la condiziona.

Si consideri prima la vista frontale, di cui è riportato uno schema grafico sotto.



Al centro di massa della sfera è applicata la forza peso , agente verso il basso, perfettamente controbilanciata dalle due reazioni normali e fornite dai punti e della guida con cui il corpo è a contatto e dirette esternamente e perpendicolarmente alla direzione degli strati metallici. La reazione normale esercitata sulla sfera dal punto di contatto è scomponibile in una componente verticale parallela all'asse passante per il centro di massa e in una componente orizzontale perpendicolare a quest'ultimo; allo stesso modo, la reazione normale esercitata sulla sfera dal punto di contatto possiede una componente verticale parallela all'asse passante per il centro di massa e una componente orizzontale ad esso perpendicolare.
Le componenti parallela e perpendicolare di sono pari a:




Parimenti, le componenti parallela e perpendicolare di sono:




Poiché la sfera di legno è un corpo rigido supposto omogeneo avente massa costante, il suo peso è equamente distribuito sulla superficie di contatto, pertanto le due reazioni normali e applicate sulla massa ai due punti di contatto e sono uguali tra loro in modulo. Dunque, . Sostituendo nelle precedenti equazioni delle componenti verticale e orizzontale, si ha:




In definitiva:


Negli stessi punti di contatto e , la guida esercita due forze frenanti contro-motrici, che si configurano come forze d'attrito di natura statica, in quanto i punti di contatto sono fermi allorché si instauri il regime di rotolamento: il loro scopo è quello di prevenire la possibilità delle forze di uscire dal caso di rotolamento, in modo che, se esse non intervenissero a preservare tale situazione, la sfera potrebbe facilmente slittare.
Considerando positivo il senso antiorario della rotazione della sfera, le due forze d'attrito svolgono l'azione frenante agendo in verso opposto a quello del moto del corpo, cioè collineare a quello del senso opposto a quello di rotazione (in questo caso, per le assunzioni precedenti, orario e negativo). Per le motivazioni precedentemente addotte, e poiché le forze normali con cui reagiscono i punti di contatto sono uguali in modulo, allora le forze d'attrito originate dai medesimi punti di tangenza condividono lo stesso modulo .

Analizzata la vista frontale, si consideri adesso la vista laterale, raffigurata nell'immagine sottostante, che descrive il moto della sfera sul piano inclinato di .



Si fissino gli assi normale e tangenziale come in figura. Il peso dev'essere scomposto in una componente normale e in una componente tangenziale , con angolo di inclinazione della guida.
La forza d'attrito totale esercitata dal supporto sulla sfera agisce in direzione tangenziale, lungo , in verso opposto alla componente parallela del peso. Le due forze d'attrito statico hanno stessi intensità, direzione e verso: dal momento che un osservatore solidale con la vista laterale, sommando le forze nella direzione , vede la "reale lunghezza" del vettore forza d'attrito disegnato lungo la guida nella vista frontale, allora la componente totale lungo è data dalla somma delle stesse forze frenanti. Pertanto:



Poiché l'attrito totale è minore della forza traente , lungo si produrrà uno sbilanciamento che farà traslare la sfera con un'accelerazione di caduta del moto di traslazione pari a quella del centro di massa. Dunque, applicando la I Cardinale, lungo l'asse tangenziale l'equazione di moto è:



Per trovare l'equazione di moto lungo l'asse normale , bisogna considerare che a controbilanciare la componente perpendicolare del peso siano le reazioni normali originate dai punti di contatto, ma è necessario stabilire quali componenti (riconoscendo che relazione intercorra tra queste ultime) delle forze normali siano realmente implicate in direzione normale. Infatti, considerando la direzione delle normali nello spazio tridimensionale, si deve concludere che, guardando la situazione dalla vista laterale, non si vede la lunghezza reale del vettore, bensì la sua proiezione sul piano di osservazione. Com'è possibile notare dalla vista frontale, le componenti orizzontali e delle due reazioni normali e hanno medesima direzione e sono uguali in modulo e opposti in verso, dunque si annullano vicendevolmente, restituendo una componente orizzontale efficace pari a . Infatti, la componente perpendicolare del peso è nel piano della pagina, mentre la reazione normale è rivolta verso la pagina con un angolo di : pertanto, soltanto le due componenti verticali delle reazioni normali, cioè quelle parallele al piano della pagina, bilanciano la componente normale del peso, non l'intera grandezza di . Pertanto, a bilanciare lungo è una componente efficace pari alla somma delle due componenti verticali delle reazioni vincolari, uguali tra loro. Dunque:

.

Applicando la I Cardinale, l'equazione di moto lungo l'asse normale è:

.


Adesso, si applichi la II Cardinale calcolando i momenti torcenti netti delle forze rispetto al centro di massa della sfera (si otterrebbe il medesimo risultato applicando la seconda legge di Newton in forma angolare rispetto all'asse di rotazione passante per i punti e di contatto, cfr. Nota in basso). Il momento della forza peso sarà nullo in quanto il peso , essendo proprio applicato sul centro di massa, avrà distanza nulla dall'asse passante per quest'ultimo: avendo braccio nullo, anche il suo momento sarà nullo. Pertanto: .
Anche il momento delle reazioni normali sarà nullo: queste ultime nascono sui punti di contatto ruota-guida, ma passano per il centro di massa, scelto come polo di riferimento; perciò, la distanza dal cardine sarà nulla e, non avendo braccio, il suo momento sarà pari a . Pertanto: .
L'unica forza ad avere momento è la forza d'attrito totale , ossia le due forze d'attrito , che hanno una linea d'azione tangenziale e che, essendo applicate nei punti di contatto appartenenti all'asse di rotazione , distano dal centro di massa. Il momento della forza d'attrito totale è un momento cooperativo per la rotazione, in quanto permette al corpo di ruotare nel senso (antiorario) di avanzamento della ruota, preliminarmente considerato positivo, accelerando la palla nella corretta direzione. Esso sarà pari a: .
Per cui, la somma dei momenti delle forze esterne è pari a: .

In accordo alla II Equazione Cardinale, la somma dei momenti delle forze esterne deve produrre un'accelerazione angolare . Dunque:

, dove è il momento d'inerzia della sfera rispetto al centro di massa . Sostituendo i termini che compongono la somma dei momenti esterni, si ha:

.

Si ricordi la condizione di rotolamento: . Derivando: . Sostituendo tale valore di nella II Cardinale:

.

Mettendo a sistema le tre equazioni riquadrate:


.

Le due espressioni provvisorie della forza d'attrito e della reazione normale sono quindi:


.

Il momento d'inerzia rispetto al centro di massa di una sfera piena è pari a: . La distanza del centro di massa dall'asse di rotazione è pari a: . Sostituendo tali valori nell'espressione di , si ha:

.
Dunque, le espressioni di e sono:


.

La condizione da rispettare affinché il corpo non scivoli, ovvero perché l'attrito sia statico, è quella per cui l'attrito statico debba essere inferiore o uguale all'attrito statico massimo disponibile , dunque:

, scrivibile come: . Sostituendo i valori precedentemente riquadrati di e , si ha:

. Semplificando, si ha che il minimo coefficiente d'attrito statico legno-metallo è uguale a:

.

Benché non sia esclusa la possibilità che il coefficiente d'attrito statico sia maggiore di , ci si aspetta che questo sia compreso tra e , dunque . Pertanto:

, da cui si ottiene:

.

Pertanto, ci si aspetta che l'angolo di inclinazione di un piano metallico della guida sia compreso tra un valore minimo e un valore massimo . Banalmente l'altro angolo di inclinazione sarà , con .

Nota. Si noti come sia possibile calcolare l'accelerazione del centro di massa, proseguendo poi i calcoli che conducono alla valutazione di , applicando la II Cardinale ai momenti calcolati rispetto all'asse di rotazione , tramite l'utilizzo del Teorema di Huygens-Steiner (o teorema degli assi paralleli). Poiché le reazioni normali e le forze d'attrito originano dai punti di contatto e passanti per l'asse istantaneo di rotazione, allora i loro bracci (cioè, le loro distanze dall'asse) saranno nulli, e così anche i momenti. L'unica forza a compiere momento è la forza peso , che dista dall'asse di rotazione della guida inclinata di e avrà momento . Per il teorema degli assi paralleli, il momento d'inerzia calcolato rispetto all'asse di rotazione è dato dalla somma tra il momento d'inerzia rispetto all'asse parallelo passante per il centro di massa e il prodotto della massa per il quadrato della distanza tra gli assi . Pertanto:

, da cui:

, che corrisponde al valore di precedentemente trovato. Infatti, si noti che il denominatore è il momento d'inerzia della massa attorno ad , lo stesso che si è trovato usando il teorema degli assi paralleli. Si può anche ricavare una massa effettiva tale che .

Conclusione L'asse di rotazione della sfera ha una componente normale a ciascun piatto, quindi non si tratta di un rotolamento con contatto. In realtà, dovrebbe esserci uno slittamento rotazionale (quello che in gergo inglese è chiamato "rotational skid"), come una palla che giri su sé stessa su una superficie orizzontale: il caso di rotolamento senza scivolamento è, come detto, solo un'idealizzazione. Un possibile modello è quello in cui si supponga che la sfera "rotoli" su due sezioni coniche strette, in modo che ciascuna di esse entri in contatto istantaneo lungo una linea di lunghezza . A causa dei diversi raggi delle sezioni, l'attrito su di esse agisce verso il basso dove il raggio è grande e verso l'alto dove è piccolo. Supponendo che la forza normale sia distribuita uniformemente lungo la linea, la forza di attrito netta dipende dalle lunghezze relative di queste due porzioni di . Se queste lunghezze misurano all'estremità di grande raggio e all'estremità di piccolo raggio, la forza di attrito netta su ciascuna di esse è verso l'alto della pendenza, con coefficiente d'attrito dinamico, e con condizione per definire il "contatto di rotolamento" in tale modello.

[Higgs]

Mentre Pigkappa è di sicuro impegnato con Tarapia vorrei dare una giustificazione del risultato 3.) postato due giorni fa. La forza peso agente sul CM O forma l'angolo con la sua proiezione sul piano AOB essendo AB l'asse istantaneo di rotazione. Pertanto la componente della forza peso agente lungo il piano inclinato, costola della guida, risulta . L'altra componente ha due componenti una su AO ed una su BO perpendicolari alle tracce di A e B sulle guide. Il loro valore è . Ora secondo me si determina il valor minimo di cioè imponendo la costanza di v cioè che il doppio della forza di attrito (perché si sviluppa in A e B) sia uguale alla forza . Intanto è da cui . Dovendo essere per la costanza di v
si deduce che deve essere almeno pari a cioè

[Pigkappa]

secondo me si determina il valor minimo di cioè imponendo la costanza di v

Capisco l'idea, ma nel testo non intendevo dire che e' costante, intendevo solo dire che in un dato momento vale e chiedevo in quel momento qual e' la massima velocita' istantanea tra i punti della sfera.

Non penso possa esserci una forza di attrito che mantiene costante. Il centro di massa della sfera e' sempre piu' avanti rispetto ai punti A e B, e l'attrito agisce in A e B quindi ha momento torcente nullo rispetto a quei punti, e c'e' sempre il momento torcente dovuto alla gravita'. Quindi la sfera puo' sempre rotolare in avanti, "cadendo" attorno all'asse AB.

Il testo dice che la sfera rotola senza strisciare, e quella e' la cosa da cui nasce la condizione da imporre. Se e' la velocita' della sfera e la sua velocita' angolare di rotazione, e la distanza di A e B dall'asse di rotazione, la velocita' di questi punti e' . Se si rotola senza strisciare, . Derivando, . Qua e' la accelerazione angolare rispetto al centro O, e il momento torcente viene solo dall'attrito, per cui la forza d'attrito deve essere sufficientemente grande perche' questa relazione possa restare soddisfatta.

Questo problema e' strano per la geometria 3D che richiede di capire che usare... Se non hai mai visto questa cosa della condizione di rotolamento senza strisciare, fai il caso piu' normale di cilindro o sfera che rotola giu' da un singolo piano inclinato.

Il metodo di Tarapia e' lo stesso che ho scritto qua sopra ed e' giusto, devo capire perche' mi viene un risultato diverso (ho i conti miei su un quaderno in ufficio e non a casa ) ma penso abbia ragione lui.

Le prime tre immagini le trovo un po' strane, ad esempio in queste tre secondo me dovrebbe uscire dalla pagina, quindi lo avrei rappresentato con come si va spesso per un campo magnetico. Purtroppo non permette di mostrare la grandezza del vettore, che invece e' utile in questo problema per confrontare con . Fare rappresentazioni 3D e' difficile...

[Tarapìa Tapioco]

Capisco l'idea, ma nel testo non intendevo dire che e' costante, intendevo solo dire che in un dato momento vale e chiedevo in quel momento qual e' la massima velocita' istantanea tra i punti della sfera.

Non penso possa esserci una forza di attrito che mantiene costante. Il centro di massa della sfera e' sempre piu' avanti rispetto ai punti A e B, e l'attrito agisce in A e B quindi ha momento torcente nullo, e c'e' il momento torcente dovuto alla gravita'. Quindi la sfera puo' sempre rotolare in avanti.

Il testo dice che la sfera rotola senza strisciare, e quella e' la cosa da cui nasce la condizione da imporre. Se e' la velocita' della sfera e la sua velocita' angolare di rotazione, e la distanza di A e B dall'asse di rotazione, la velocita' di questi punti e' . Se si rotola senza strisciare, . Derivando, . Qua e' la accelerazione angolare rispetto al centro O, e il momento torcente viene solo dall'attrito, per cui la forza d'attrito deve essere sufficientemente grande perche' questa relazione possa restare soddisfatta.

Le tue obiezioni sono assolutamente corrette. Ciononostante, vorrei cercare di far capire a @Higgs la fallacia del suo ragionamento in maniera più approfondita (in questa sua proposta di svolgimento si possono riscontrare 3 errori abbastanza evidenti, tra cui uno determinante per l'errata valutazione del risultato finale - sarebbe quello che hai esposto tu -, e a primo impatto l'espressione analitica è decisamente sospettosa e poco convincente), se non altro per mettere a punto una soluzione che gli permetta di pervenire al corretto valore finale di modificando il suo ragionamento. Domani posterò un messaggio in tal senso.

Il metodo di Tarapia e' giusto, devo capire perche' mi viene un risultato diverso (ho i conti miei su un quaderno in ufficio e non a casa ) ma penso abbia ragione lui.

Attendo riscontro sulla correttezza del risultato. Se posso chiedere, qual è il risultato a cui sei giunto?

Le prime tre immagini invece le trovo un po' strane, ad esempio in queste tre secondo me dovrebbe uscire dalla pagina, quindi lo avrei rappresentato con come si va spesso per un campo magnetico. Purtroppo non permette di mostrare la grandezza del vettore, che invece e' utile in questo problema per confrontare con . Fare rappresentazioni 3D e' difficile...

Hai assolutamente ragione. Infatti, le mie non sono rappresentazioni tridimensionali. Avevo provato a disegnare schemi grafici che restituissero una situazione aderente il più possibile a quella presentata dal problema, ma - come hai già notato tu, e come avevo pensato anch'io - non sarebbero stati particolarmente proficui da un punto di vista meramente esplicativo, ovvero come accompagnamento alla spiegazione teorica. Pertanto, ho semplicemente realizzato una visione frontale in 2D, in cui la rappresentazione dei vettori ha semplicemente scopo dimostrativo: il vettore velocità è perpendicolare al vettore posizione e, confrontato a quello del vettore velocità del centro di massa, il suo modulo è molto maggiore (mi sembra che, sia dal grafico che dalla spiegazione, sia abbastanza chiaro); invece, in una situazione fisica in cui le lastre metalliche sono verticali, il punto sommitale della sfera ha componente obliqua; et similia. Ovviamente, in un grafico 3D, il vettore velocità in è uscente dalla pagina (la tua assunzione è corretta) e perciò andrebbe indicato con , come hai giustamente notato. Spero si sia capito quale fosse il mio intento. Mi auguro che la mia spiegazione sia completa e corretta.

[Higgs]

Premesso che rispetto a voi sono l'unico che può imparare tante cose (ed è per questo che mi sforzo di seguire i vostri ragionamenti) , io avevo capito e scritto più volte senza essere corretto che AB è l'asse istantaneo di rotazione. Quindi lo stesso O ci ruota istantaneamente attorno a distanza come Pigkappa ha scritto il 9/9 e da me assolutamente condiviso. Giustamente A (o B) deve avere velocità nulla per cui ovvero v=... Che vuol dire allora Pigkappa che se è la velocità angolare di rotazione e h la distanza di A o B dall'asse di rotazione... Se AB è l'asse di rotazione la loro distanza da esso dovrebbe essere nulla... C'è quindi qualcosa di importante che non capisco nemmeno leggendo i V/s scritti così dettagliati

[Pigkappa]

Riguardo la seconda parte, attendo riscontro sulla correttezza del risultato. Se posso chiedere, qual è il risultato a cui sei giunto?

L'ho rifatto e mi viene uguale al tuo. Mi ero perso una radice di 2 nella forza tra guida e sfera.

[Pigkappa]

Che vuol dire allora Pigkappa che se è la velocità angolare di rotazione e h la distanza di A o B dall'asse di rotazione... Se AB è l'asse di rotazione la loro distanza da esso dovrebbe essere nulla...

Il moto si può vedere in due modi:
1. Rotazione istantanea intorno all'asse AB.
2. Traslazione scendendo verso il basso, più rotazione attorno ad un asse parallelo ad AB che passa per il centro di massa O.

Nel mio messaggio che hai quotato, mi stavo riferendo alla seconda interpretazione, che è utile perché permette di isolare la velocità di discesa più facilmente della prima.

Direi che si può anche procedere usando solo la prima interpretazione, comunque, ma bisogna farlo con attenzione perché stiamo esprimendo le cose attorno ad un asse di rotazione AB che non passa per il CDM, che si muove nel tempo, ed il suo moto è accelerato. Inoltre la velocità angolare a sua volta accelera, quindi sento il rischio di trappoloni (rivedrei il capitolo del Morin sui sistemi di riferimento non inerziali, mi sa che c'è una forza fittizia non ovvia che viene fuori in questo caso).

[Higgs]

Grazie Pigkappa ora ho capito. Avevo pensato anch'io al modo 2 ma non l'avevo mai usato perché pensavo che fosse meno utile.

[Tarapìa Tapioco]

Come avrai capito, il tuo risultato è sbagliato. A primo impatto, esso appare sospetto e poco convincente. Il valore è decisamente troppo alto per un contatto d'attrito legno-metallo, che canonicamente prevede un coefficiente variabile tra e (con minimo margine d'errore). Affinché questo coefficiente d'attrito statico sia (auspicabilmente) compreso tra e , l'angolo d'inclinazione della guida, stando al tuo risultato, dovrebbe essere , compreso tra un angolo minimo (corretto) e un angolo massimo , valore molto dubbio e poco calzante. In effetti, come noterai, questo risultato è errato anche assumendo la correttezza del tuo ragionamento (che, in verità, è errato).
Il tuo ragionamento è interessante, ma, a causa di alcuni errori (per la precisione, tre in totale) abbastanza evidenti, esso si involge in un'auto-contraddizione, conducendo al risultato sbagliato. Cerco di passarli in rassegna, dai meno rilevanti (riconducibili a mere imprecisioni) ai più considerevoli (un errore decisivo).

1) Lieve imprecisione nella valutazione della situazione fisica. Tu fai presente che:

L'altra componente ha due componenti una su AO ed una su BO perpendicolari alle tracce di A e B sulle guide. Il loro valore è .

In questa parte del messaggio, sembra che si parli delle forze normali come componenti della componente del peso rivolta perpendicolarmente all'inclinazione. Quando dici che vi sono due componenti della componente ortogonale del peso, sicuramente intendi che ci siano due forze che si oppongono ad essa: pertanto, non stai affermando correttamente ciò che intendi (e che sembri comprendere) in base al risultato ottenuto per . Infatti, è impreciso affermare che abbia due componenti. Piuttosto, è corretto dire che essa possa essere risolta in due componenti, ciascuna normale a una piastra ed entrambe ortogonali tra loro: poiché non c'è accelerazione normale ad alcuna piastra, queste devono essere uguali alle forze normali con cui reagiscono le lastre metalliche. Terminata questa precisazione, è necessario avanzarne un'altra. Qui pervieni al corretto risultato di , cioè , ma in occasione della sostituzione entro l'espressione di , consideri, pur indicandola preventivamente con , la somma delle due componenti di , ovvero . Sarebbe più corretto se indicassi tale componente totale con , o, comunque, in qualsiasi altro modo fuori da , la cui espressione corretta è quella poc'anzi discussa e da te inizialmente presentata.

2) Errore di calcolo. In quest'altra parte del messaggio sostieni che:

il doppio della forza di attrito (perché si sviluppa in A e B) sia uguale alla forza .

A prescindere dalla correttezza (mancata) della tua idea (imporre la costanza di , dimodoché la forza d'attrito totale uguagli la componente tangenziale del peso), giusta appare l'assunzione di una forza d'attrito totale doppia - in quanto sviluppantesi in ognuno dei due punti di contatto e - da opporre (e non uguagliare) alla componente parallela del peso. Nella parte finale del tuo post, tuttavia, passi inspiegabilmente a considerare l'equazione

raddoppiando la componente del peso. In questo modo, auto-contraddici la tua stessa affermazione iniziale e, considerando una doppia, fai sì che il fattore moltiplicativo di entrambi i membri di questa equazione si semplifichi, rendendo la componente tangenziale della forza gravitazionale a cui è soggetta la sfera, uguale soltanto a , come se essa originasse da un solo punto di contatto sfera-guida (laddove, invece, tu stesso hai notato la presenza di due punti di tangenza). Riordinando i calcoli per sistemare questa svista, il coefficiente d'attrito sarebbe uguale a , un valore più sensato, ragionevole e convincente di quello da te proposto come risultato finale.

3) Errore determinante. Come ha già ottimamente notato ed esposto @Pigkappa, non appare probabile l'esistenza di un attrito che eserciti una forza costante sulla sfera, mantenendo quindi costante anche la velocità del centro di massa. La sfera, in quanto corpo rigido, manifesta una certa tendenza ad opporsi al moto rotazionale, pertanto possiede un momento d'inerzia , dipendente dalla distanza dall'asse di rotazione e mutevole a seconda dell'asse di rotazione scelto attorno al quale il corpo ruota. Proprio per questo, le forze agenti sul sistema generano un momento torcente netto non nullo (la gravità rispetto all'asse istantaneo di rotazione , l'attrito statico rispetto ad un asse - a quest'ultimo parallelo - passante per il centro di massa ) che produce un'accelerazione angolare , pertanto la sfera possiede una propria accelerazione del centro di massa che esclude la costanza della velocità di quest'ultimo. Per spiegazioni ancora più approfondite, faccio riferimento al mio messaggio in cui ho inserito la mia risoluzione e - soprattutto - ai tre messaggi postati da @Pigkappa dopo esso.

Le prime due obiezioni sono soltanto imprecisioni veniali, che tuttavia devono essere registrate e che - sono sicuro - ti permetteranno di modificare il tuo stesso procedimento per pervenire alla soluzione corretta. Quanto al terzo errore, quello che ha decretato il risultato sbagliato: puoi tranquillamente seguire le indicazioni di @Pigkappa, giungerai tranquillamente al risultato giusto anche con un procedimento differente dal mio.