Provo a rispiegare il mio procedimento sulle forze... Fisso l'origine da qualche parte, e considero le posizioni
e
di due particelle. Sposto le particelle, portandole a
\vec r_i)
e
\vec r_j)
. Ai vettori applico un "2" al pedice invece che un apostrofo perche' l'apostrofo si legge male in LaTeX con la freccia di vettore. Scelgo
cosi' che il lavoro fatto su ogni particella sia infinitesimo a sua volta.
Faccio un inciso, ma qua temo di perderti se non hai ancora studiato analisi. Se vogliamo essere piu' formali e giustificare cosa vuol dire che il lavoro fatto per spostarci di
e' zero, intendo quel che segue. Il fatto che la forza sia 0 nella configurazione di partenza vuol dire che il lavoro fatto per un spostamento
e' un ordine di infinitesimo piu' piccolo di
)
. Se ci muoviamo da
a
e la forza media in tal intervallo e'
, il lavoro fatto e'
 \cdot \vec F)
. Se
e' zero nel punto
, e
e' vicino a
, la forza in
sara'
 \cdot (\vec r_2 - \vec r))
e, se
non e' infinito, allora questo sara' infinitesimo. Quindi il lavoro
sara' un infinitesimo del secondo ordine. Qua ho scritto le cose in modo piu' complicato del necessario per restare in notazione vettoriale, ma se le immagini in una dimensione sola e pensi a
)
e
)
si capisce piu' facilmente che se
,
con la velocita' di
^2)
purche'
non sia infinita.
Non uso versori stavolta ma solo vettori, ma alla fine i concetti non cambiano. La forza che
subisce per la presenza di
prima dello spostamento era:
Dopo lo spostamento:
Sostituendo le espressioni per
e
:
\vec r_i - (1 + \varepsilon)\vec r_j}{|(1 + \varepsilon)\vec r_i - (1 + \varepsilon)\vec r_j|^3} = k q_i q_j \frac{(1+\varepsilon) (\vec r_i - \vec r_j)}{(1 + \varepsilon)^3|\vec r_i_2 - \vec r_j_2|^3} = \frac{\vec F_{ij}}{(1 + \varepsilon)^2})
Dove ho usato proprieta' standard dei vettori - il fatto che si possa raccogliere uno scalare cosi' che
)
ed il fatto che
se
.
Questo dimostra il risultato sopra evitando di dare per scontato che i versori rimangono uguali.
