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Sono passati 7 anni, non mi ricordo cosa avevo fatto. Puo' darsi che io abbia calcolato il delta (relativo) di energia del blocco di massa nel primo urto, sperabilmente e' proporzionale a , e quindi detto che serviranno urti. Se non funziona con l'energia, forse prova con la quantita' di moto. Se non basta il primo urto, prova a vedere se c'e' qualcosa di interessante relativo all'ultimo urto.

All'orale un professore mi ha anche fatto i complimenti perche' era un metodo astuto, ma piu' a livello di dimostrare intuizione fisica che di essere un argomento ben fondato.

Mi sono accorto ora che nel metodo della circonferenza se vi impicciate a cambiare i riferimenti per arrivare alle equazioni che legano le velocità dopo l'urto n+1 con quelle dopo l'urto n, si può studiare l'urto da "un altro punto di vista" che concettualmente è più semplice ma vengono forse un po più conti... è il classico procedimento dove si può spegnere il cervello e fare solo conti. Secondo me è meglio l'altra strada però se non vi trovate sappiate che con la circonferenza si può evitare...

Niente idee per il metodo della circonferenza??? è una soluzione che merita di essere conosciuta da tutti quindi va scritta... se nessuno trova niente entro qualche giorno metto un accenno di soluzione.

Come diceva Andrea 96 la soluzione della circonferenza merita davvero.
Comincio con le prime due idee, chi vuole provarci può partire da qui:
La prima è quella di identificare ogni -esima situazione del sistema come punto sulla circonferenza definita prima.
Ora la conservazione dell'energia la sfruttiamo per definire questa circonferenza... E la quantità di moto?
Valutando due situazioni successive si ha:


ossia:


Ma possiamo definire e ;



Ora con un po' di trigonometria bisogna cercare di ricavare ... Dipende da n?

Graficamente quando si ferma?? forse quando ???

Intanto provo a scrivere una soluzione un po' campata per aria anche per sentire il vostro parere :

Nell'ipotesi in cui possiamo assumere le variazioni di e di come continue.

Dalla variazione di quantità di moto si ha:



che ci concediamo di scrivere come:



dove è un bruttissimo modo per rendere integrabile questa cosa, se valesse allora si avrebbe la relazione discreta.

Per la conservazione dell'energia si ha .


Ora non so quanto questo integrale sia fattibile, forse è una scemata per chi conosce l'analisi... Io mi sono fatto aiutare da Wolfram integrando da a . Il risultato è proprio:

Meglio precisare meglio:

è la velocità di ;
è la velocità di .

Inoltre la relazione tra le velocità che ho scritto si ottiene dividendo membro a membro la conservazione dell'energia con la conservazione della quantità di moto. Sono stato molto poco chiaro e anche poco corretto nel dire che derivava solo dalla conservazione della quantità di moto

Se non fosse per quell'integrale avrei pensato che questa era la soluzione che volevano al test

Simone256 ha scritto:


che ci concediamo di scrivere come:



dove è un bruttissimo modo per rendere integrabile questa cosa, se valesse allora si avrebbe la relazione discreta.

Potresti spiegare meglio questo passaggio che non l'ho capito molto?

Simone256 ha scritto:Intanto provo a scrivere una soluzione un po' campata per aria anche per sentire il vostro parere.

E' giusta anche questa soluzione, e sembra molto piu' fisica che giocare con le ricorsioni.

Passare da a e' un po' come trasformare in . Se cambia poco nel passare da a , potete farlo. In questo problema vale se il numero totale di urti e' molto maggiore di 1.

Ormai è rimasta solo la trigonometria, ma va beh, controlliamo almeno quella...
Come ha detto Simone, , cioè . Prostaferesi + semplificazioni e ottengo , quindi, posto
e , costante.
Ora, all'inizio il punto della circonferenza sarà in , a noi interessa quanti angolini ci sono, in senso antiorario, per arrivare all'asse y. È proprio, come detto prima, .