32: Quantitá di Moto 2.0 [SNS 2008 n.5]

[Pigkappa]

Sono passati 7 anni, non mi ricordo cosa avevo fatto. Puo' darsi che io abbia calcolato il delta (relativo) di energia del blocco di massa nel primo urto, sperabilmente e' proporzionale a , e quindi detto che serviranno urti. Se non funziona con l'energia, forse prova con la quantita' di moto. Se non basta il primo urto, prova a vedere se c'e' qualcosa di interessante relativo all'ultimo urto.

All'orale un professore mi ha anche fatto i complimenti perche' era un metodo astuto, ma piu' a livello di dimostrare intuizione fisica che di essere un argomento ben fondato.

[andrea96]

Mi sono accorto ora che nel metodo della circonferenza se vi impicciate a cambiare i riferimenti per arrivare alle equazioni che legano le velocità dopo l'urto n+1 con quelle dopo l'urto n, si può studiare l'urto da "un altro punto di vista" che concettualmente è più semplice ma vengono forse un po più conti... è il classico procedimento dove si può spegnere il cervello e fare solo conti. Secondo me è meglio l'altra strada però se non vi trovate sappiate che con la circonferenza si può evitare...

[andrea96]

Niente idee per il metodo della circonferenza??? è una soluzione che merita di essere conosciuta da tutti quindi va scritta... se nessuno trova niente entro qualche giorno metto un accenno di soluzione.

[Simone256]

Come diceva Andrea 96 la soluzione della circonferenza merita davvero.
Comincio con le prime due idee, chi vuole provarci può partire da qui:
La prima è quella di identificare ogni -esima situazione del sistema come punto sulla circonferenza definita prima.
Ora la conservazione dell'energia la sfruttiamo per definire questa circonferenza... E la quantità di moto?
Valutando due situazioni successive si ha:


ossia:


Ma possiamo definire e ;



Ora con un po' di trigonometria bisogna cercare di ricavare ... Dipende da n?

Graficamente quando si ferma?? forse quando ???

[Simone256]

Intanto provo a scrivere una soluzione un po' campata per aria anche per sentire il vostro parere :

Nell'ipotesi in cui possiamo assumere le variazioni di e di come continue.

Dalla variazione di quantità di moto si ha:



che ci concediamo di scrivere come:



dove è un bruttissimo modo per rendere integrabile questa cosa, se valesse allora si avrebbe la relazione discreta.

Per la conservazione dell'energia si ha .


Ora non so quanto questo integrale sia fattibile, forse è una scemata per chi conosce l'analisi... Io mi sono fatto aiutare da Wolfram integrando da a . Il risultato è proprio:

[Simone256]

Meglio precisare meglio:

è la velocità di ;
è la velocità di .

Inoltre la relazione tra le velocità che ho scritto si ottiene dividendo membro a membro la conservazione dell'energia con la conservazione della quantità di moto. Sono stato molto poco chiaro e anche poco corretto nel dire che derivava solo dalla conservazione della quantità di moto

[andrea96]

Se non fosse per quell'integrale avrei pensato che questa era la soluzione che volevano al test

[sall96]

che ci concediamo di scrivere come:



dove è un bruttissimo modo per rendere integrabile questa cosa, se valesse allora si avrebbe la relazione discreta.

Potresti spiegare meglio questo passaggio che non l'ho capito molto?

[Pigkappa]

Intanto provo a scrivere una soluzione un po' campata per aria anche per sentire il vostro parere.

E' giusta anche questa soluzione, e sembra molto piu' fisica che giocare con le ricorsioni.

Passare da a e' un po' come trasformare in . Se cambia poco nel passare da a , potete farlo. In questo problema vale se il numero totale di urti e' molto maggiore di 1.

[matpro98]

Ormai è rimasta solo la trigonometria, ma va beh, controlliamo almeno quella...
Come ha detto Simone, , cioè . Prostaferesi + semplificazioni e ottengo , quindi, posto
e , costante.
Ora, all'inizio il punto della circonferenza sarà in , a noi interessa quanti angolini ci sono, in senso antiorario, per arrivare all'asse y. È proprio, come detto prima, .