sns 2012 n.1

[Bolzo88]

Non sono d'accordo su : lo trovi integrando la forza da R a , ma la forza non va come fino a ...

.
No, non lo trovo integrando. Ad R, o meglio a distanza infinitesima da R, le immagini sono entrambe q in valore assoluto e quindi calcolo il potenziale da loro generato nel centro della sferetta secondo l'ordinaria formula delle cariche puntiformi

Ancora non capisco cos'hai fatto e come hai trovato che il potenziale è . Puoi spiegarmelo meglio?
In ogni caso sono molto scettico sul calcolare il potenziale nel centro della sferetta: le sfere sono conduttrici, quindi il potenziale dentro di esse è costante perchè non ci sono campi elettrici. Ricordati che i campi elettrici sono quelli determinati con le cariche immagine solo all'esterno dei conduttori.

Alcune domande/obiezioni:

1) Perchè va aggiunta a ? Stai usando la conservazione dell'energia, puoi spiegare bene come?

2) Perchè puoi fare l'analogia con il condensatore sferico? Nel tuo condensatore la carica attraversa il volume tra le due sferette, nel nostro problema mi pare che stia sempre sulla superficie: perchè le due situazioni dovrebbero essere analoghe?

3) Mi pare che stai assumendo che nel condensatore la ddp rimane la stessa durante tutto il trasferimento di carica: ti sembra avere senso questa assunzione?

Edit: forse sul punto (3) ho capito male io, per adesso evito di approfondire perchè ho sonno

1) Il testo chiede, non a caso, l'energia dissipata nel "processo": quindi all'energia cinetica dissipata come in ogni urto anelastico va aggiunta quella dissipata per effetto Joule.

2) Anche qui non hai letto bene: ho scritto CONDUTTORE sferico e non condensatore. Non c'è dielettrico fra le sfere: c'è un conduttore di data resistività come dice il testo e pertanto mi pare che la tua obiezione nasca da un fraintendimento.

3)Nel ribadire che non è un condensatore, la ddp è quella esistente fra le due sfere quando la carica q passa dalla piccola(kq/r) alla grande(kq/R).

1) Ok, adesso ho capito il ragionamento: la differenza tra le energie potenziali diventa energia cinetica che viene dissipata nell'urto anelastico, a questo ci aggiungi l'energia dissipata per effetto joule.
In ogni caso non mi torna: secondo me bisogna usare la conservazione dell'energia totale. Se la vogliamo fare tra l'istante iniziale e l'istante subito prima dell'urto abbiamo che:

In pratica nel bilancio energetico devi già tenere conto anche dell'energia dissipata per effetto joule!

2)Ok, è un conduttore e non un condensatore. Perchè, però, il caso in cui la carica attraversa il conduttore è analogo al nostro in cui fa solo moti superficiali? A me sembra che l'analogia sia falsa.

3) Dato che siamo già abbastanza incasinati direi di continuare a discuterne solo dopo aver risolto il punto (2)

[modesto]

Ancora non capisco cos'hai fatto e come hai trovato che il potenziale è . Puoi spiegarmelo meglio?
In ogni caso sono molto scettico sul calcolare il potenziale nel centro della sferetta: le sfere sono conduttrici...

La sfera conduttrice che arriva per le cariche immagini generatrici e per gli osservatori esterni equivale per Gauss ad una carica puntiforme q nel suo centro(!). La sua energia potenziale nel campo generato dalle immagini che valgono anche loro , quando il centro di q dista R+r da quella centrale ed r da quella negativa in R, è allora

1) Ok, adesso ho capito il ragionamento: la differenza tra le energie potenziali diventa energia cinetica che viene dissipata nell'urto anelastico, a questo ci aggiungi l'energia dissipata per effetto joule.
In ogni caso non mi torna: secondo me bisogna usare la conservazione dell'energia totale. Se la vogliamo fare tra l'istante iniziale e l'istante subito prima dell'urto abbiamo che:
In pratica nel bilancio energetico devi già tenere conto anche dell'energia dissipata per effetto joule!

No, subito prima dell'urto è proprio e quindi la tua equazione non può essere corretta. Certo posso essere d'accordo che una certa carica a quel punto è già stata indotta sulla superficie del satellite e quindi si è già prodotto un certo calore per effetto Joule: ebbene lo valuto successivamente nel totale . Perchè credo che tu sia d'accordo che l'intero calore prodotto è legato alle perdite energetiche di q: prima passa da d ad R , perde energia potenziale elettrostatica che si trasforma in energia cinetica che nell'urto anelastico si trasforma in calore; poi passa da una sfera di raggio r ad una di raggio R, perde energia potenziale che si trasforma per effetto Joule in calore secondo la nota formula

2)Ok, è un conduttore e non un condensatore. Perchè, però, il caso in cui la carica attraversa il conduttore è analogo al nostro in cui fa solo moti superficiali? A me sembra che l'analogia sia falsa.

Le cariche che alla fine sono in superficie provengono dal "corpo" del satellite! E' importante rivedere il processo: la carica q a distanza d dal centro del satellite genera un campo elettrico DENTRO il conduttore-satellite. Questo campo provoca una polarizzazione di cariche lettriche: quelle negative affluiscono nella superficie prossima a q mentre quelle positive affluiscono in quella opposta. Perchè? Perchè DEVONO creare un campo opposto a quello induttore in modo che il campo totale dentro il satellite sia nullo e la sua superficie equipotenziale.
Sono d'accordo sui punti successivi! Si verifica una cosa strana: la velocità della sfera in orbita circolare attorno al satellite è MAGGIORE della velocità di fuga competente alla distanza d!!!!

[Bolzo88]

La sfera conduttrice che arriva per le cariche immagini generatrici e per gli osservatori esterni equivale per Gauss ad una carica puntiforme q nel suo centro(!). La sua energia potenziale nel campo generato dalle immagini che valgono anche loro , quando il centro di q dista R+r da quella centrale ed r da quella negativa in R, è allora

Ricordo cos'è l'energia potenziale: è il lavoro che farebbe la forza elettrica se la carica q si spostasse dal punto in cui si trova all'infinito.
L'energia potenziale sarebbe se durante il moto della sferetta fino all'infinito le cariche immagine rimanessero costanti in modulo e non si spostassero. Ma le cariche immagine cambiano e si spostano, quindi l'energia potenziale che calcoli è sbagliata, mentre quella vera è a dir poco incasinata.

No, subito prima dell'urto è proprio e quindi la tua equazione non può essere corretta. Certo posso essere d'accordo che una certa carica a quel punto è già stata indotta sulla superficie del satellite e quindi si è già prodotto un certo calore per effetto Joule: ebbene lo valuto successivamente nel totale . Perchè credo che tu sia d'accordo che l'intero calore prodotto è legato alle perdite energetiche di q: prima passa da d ad R , perde energia potenziale elettrostatica che si trasforma in energia cinetica che nell'urto anelastico si trasforma in calore; poi passa da una sfera di raggio r ad una di raggio R, perde energia potenziale che si trasforma per effetto Joule in calore secondo la nota formula

Ribadisco che è corretta la mia equazione: si produce calore per effetto joule, la produzione di calore toglie energia meccanica al sistema. L'energia totale si deve conservare, non si produce energia dal nulla!
Per quanto riguarda l'effetto joule, sono convinto che avvenga tutto o quasi prima dell'urto: infatti al momento dell'urto c'è una carica -q su una porzione piccolissima della superficie del satellite vicino alla sferetta, già pronta ad annullarsi con la carica q della sferetta praticamente senza muoversi, e poi c'è una carica q distribuita uniformemente sulla superficie del satellite (come si deduce dalla carica immagine q al centro).

Le cariche che alla fine sono in superficie provengono dal "corpo" del satellite! E' importante rivedere il processo: la carica q a distanza d dal centro del satellite genera un campo elettrico DENTRO il conduttore-satellite. Questo campo provoca una polarizzazione di cariche lettriche: quelle negative affluiscono nella superficie prossima a q mentre quelle positive affluiscono in quella opposta. Perchè? Perchè DEVONO creare un campo opposto a quello induttore in modo che il campo totale dentro il satellite sia nullo e la sua superficie equipotenziale.

Ok, su questo hai ragione: molto probabilmente ci sono moti di carica anche all'interno del satellite e non solo in superficie.
In ogni caso l'obiezione rimane, perchè questi moti non sono di sicuro un trasferimento isotropo (uguale in tutte le direzioni) di carica da una sfera di raggio r a una di raggio R. Ribadisco quindi che la tua analogia è sbagliata.

Sono d'accordo sui punti successivi! Si verifica una cosa strana: la velocità della sfera in orbita circolare attorno al satellite è MAGGIORE della velocità di fuga competente alla distanza d!!!!

Non ho capito da dove tiri fuori questa affermazione ma io rimanderei la discussione, dato che stiamo ancora trattando il punto 1.

[Gabry]

Dato che la superficie del satellite è equipotenziale e il potenziale sulla superficie è uguale a quello dovuto ad una carica puntiforme (la carica immagine posta al suo centro) si potrebbe calcolare l'energia quando la sfera ed il satellite sono lontani tramite l'energia del campo elettrostatico considerando che (grazie alla prima carica immagine) il sistema dovrebbe essere equivalente al satellite isolato con l'altra carica al suo centro? Ovviamente considerando sia l'energia del campo elettrostatico del satellite sia di quello della sfera...

[Bolzo88]

Dato che la superficie del satellite è equipotenziale e il potenziale sulla superficie è uguale a quello dovuto ad una carica puntiforme (la carica immagine posta al suo centro) si potrebbe calcolare l'energia quando la sfera ed il satellite sono lontani tramite l'energia del campo elettrostatico considerando che (grazie alla prima carica immagine) il sistema dovrebbe essere equivalente al satellite isolato con l'altra carica al suo centro? Ovviamente considerando sia l'energia del campo elettrostatico del satellite sia di quello della sfera...

Domanda: come C prendi la capacita' di un conduttore sferico di raggio R?

Commento: calcolare l'energia come quella del campo elettrostatico e' in generale un'idea corretta, almeno fino a quando non abbiamo a che fare con cariche puntiformi perche' in quel caso andrebbe a infinio. Bisogna vedere se in questo caso e' applicabile (vedi commenti successivi), cioe' se e' data da qualche formula semplice che permette di calcolarla. Secondo me no perche' ci sono un po' di complicazioni:

1) Il potenziale sulla superficie del satellite e' quello dato dalla carica nel suo centro piu' quello dell'altra carica immagine piu' quello della carica sulla sferetta. EDIT: questa non e' una complicazione perche' il potenziale della seconda immagine piu' quello della sferetta e' nullo sulla superficie del satellite.

2) Occhio: se sulla sferetta c'e' una carica q, le cariche immagine nel satellite non valgono q. Valgono approssimativamente q solo quando la sferetta e' molto vicina al satellite.

3) Attento: l'energia di un campo elettrico non e' additiva. Non si puo' quindi sommare l'energia del campo elettrico della sferettae quella del campo elettrico del satellite. Se ci pensi un attimo, per esempio, l'energia di un condensatore piano non e' la somma delle energie dei campi generati dai due piani da cui e' formato.

Se non capisci qualcosa o non ti tornano le mie obiezioni rispondimi. In ogni caso sei sulla buona strada, dovresti solo aggiustare il ragionamento facendo qualche approssimazione: idee?

[modesto]

A) Bolzo88 obiettò che la teoria delle immagini non era nel programma sns. E' vero, però se io non fossi stato bocciato alla maturità e avessi partecipato come volevo al test, avrei teoricamente potuto "ricostruire" le immagini. Infatti quando la sferetta con carica q è a distanza x dal satellite genera nel suo centro il potenziale che deve essere costante su tutto il satellite. Moltiplicando e dividendo per R, è lo stesso potenziale che produrrebbe sulla superficie la carica puntiforme posta nel suo centro. Ecco la prima immagine. Siccome il satellite deve essere a carica nulla ce ne deve essere una opposta. Dove? A distanza dalla superficie e dentro il satellite tale da generare insieme a q della sferetta potenziale nullo sulla superficie del satellite in modo che l'unico potenziale, costante, sia quello dell'immagine centrale. Si vede facilmente, imponendo questa condizione, che deve distare proprio dal centro.
B) Alla luce di questa considerazione ho rifatto i conti sull'energia potenziale come integrale della forza di interazione fra q e le immagini da x all'infinito per il punto 1. Ho ottenuto
. Osservo che questa è l'energia delle immagini nel campo di q ma anche quella di q nel campo delle immagini. Quindi mi parrebbe la vera e propria energia del SISTEMA satellite-sferetta. Essa vale
e
fatte le semplificazioni d>>R e R>>r. Come si vede il sistema, nel passaggio della sferetta da d ad R, perde l'energia che dovrebbe dissiparsi secondo me: in parte si era trasformata in energia cinetica della sferetta che poi nell'urto anelastico è finita in calore ed in parte per effetto Joule nel movimento di cariche dentro e alla superficie del satellite che avviene mentre la sferetta si avvicina. Ma se così fosse perchè darebbero ? Non mi torna. Ho provato a calcolare l'effetto Joule nel satellite con . Conti brutti che spero siano inutili.

[Gabry]

Ho considerato il potenziale dovuto solo alla carica immagine posta al centro perchè l'altra carica immagine annulla esattamente il potenziale dovuto alla sferetta, quindi mi era venuto in mente di considerare il satellite come un conduttore isolato con la carica immagine distribuita equamente sulla superficie.

3) Attento: l'energia di un campo elettrico non e' additiva. Non si puo' quindi sommare l'energia del campo elettrico della sferettae quella del campo elettrico del satellite. Se ci pensi un attimo, per esempio, l'energia di un condensatore piano non e' la somma delle energie dei campi generati dai due piani da cui e' formato.

MI era venuto questo dubbio perchè l'energia dipende dal campo elettrico e nel caso di due corpi il campo elettrico risultante in alcuni punti è la somma e in altri la differenza tra i singoli campi.
E se invece considerassi le due sfere come un unico condensatore? Posso calcolarmi il potenziale di entrambe e quindi la differenza di potenziale tra sfera e satellite e la carica tra di esse sarebbe solo la carica q sulla sfera (il satellite avrebbe carica totale nulla).

[Bolzo88]

E se invece considerassi le due sfere come un unico condensatore? Posso calcolarmi il potenziale di entrambe e quindi la differenza di potenziale tra sfera e satellite e la carica tra di esse sarebbe solo la carica q sulla sfera (il satellite avrebbe carica totale nulla).

E' un'idea, probabilmente va un po' sistemata perche' di solito i condensatori hanno una carica positiva su un'armatura e una carica negativa di uguale modulo sull'altra. In ogni caso avresti poi dei problemi a calcolare la capacita' di questo condensatore, che ti servirebbe per arrivare all'energia elettrostatica.

[Bolzo88]

B) Alla luce di questa considerazione ho rifatto i conti sull'energia potenziale come integrale della forza di interazione fra q e le immagini da x all'infinito per il punto 1. Ho ottenuto
. Osservo che questa è l'energia delle immagini nel campo di q ma anche quella di q nel campo delle immagini. Quindi mi parrebbe la vera e propria energia del SISTEMA satellite-sferetta. Essa vale
e
fatte le semplificazioni d>>R e R>>r. Come si vede il sistema, nel passaggio della sferetta da d ad R, perde l'energia che dovrebbe dissiparsi secondo me: in parte si era trasformata in energia cinetica della sferetta che poi nell'urto anelastico è finita in calore ed in parte per effetto Joule nel movimento di cariche dentro e alla superficie del satellite che avviene mentre la sferetta si avvicina. Ma se così fosse perchè darebbero ? Non mi torna. Ho provato a calcolare l'effetto Joule nel satellite con . Conti brutti che spero siano inutili.

Ottima idea! Non ho controllato i tuoi conti, quindi faccio considerazioni di carattere qualitativo.

1) Usando le approssimazioni viene che e' molto piccolo. Qualitativamente sembra sensato, questo porterebbe anche a trascurare nel calcolo dell'energia persa.

2) I conti dell'effetto Joule con sono brutti. Inoltre, se non sbaglio, nel testo dice che e' la densita' media ma non dice che e' uniforme, e questo darebbe anche problemi alla validita' dei conti. Insomma, in casi del genere meglio cercare una soluzione in cui i conti brutti non servano.

3) Danno per dire che c'e' dissipazione di energia sotto forma di calore. Altrimenti, con , sarebbe tutto un gran casino difficile da trattare: senza dissipazione potrebbero generarsi correnti che non si fermano mai anche una volta che svanisce il potenziale che le ha generate, oppure potrebbero esserci cariche che subiscono grandi accelerazioni e possono generare onde elettromagnetiche e perdere energia attraverso queste onde. La resistivita' non nulla ci permette di trascurare tutti questi possibili effetti.

4) La cosa piu' importante: nel problema nessuno ti chiede qual e' l'energia dissipata in calore subito prima dell'urto. La domanda e' di calcolare l'energia dissipata dall'istante iniziale fino a dopo che i due corpi si sono urtati.

[modesto]

Ottima idea! Non ho controllato i tuoi conti, quindi faccio considerazioni di carattere qualitativo.
3) Danno per dire che c'e' dissipazione di energia sotto forma di calore. La resistivita' non nulla ci permette di trascurare tutti questi possibili effetti.
4) La cosa piu' importante: nel problema nessuno ti chiede qual e' l'energia dissipata in calore subito prima dell'urto. La domanda e' di calcolare l'energia dissipata dall'istante iniziale fino a dopo che i due corpi si sono urtati.

Se davvero si può ragionare senza però come se ci fosse (ma potevano dire "di data resistività.." senza mettere il simbolo...) io darei come risultato del punto 1. quella differenza meno l'energia che è stata spesa per caricare il satellite+sferetta attaccata fino a q e che rimane come energia elettrostatica. Quest'ultima si può valutare e mi pare non riservi sorprese. E' e quindi la carica che va in superficie quando la sferetta si sposta da x a x+dx è con il relativo lavoro infinitesimo , essendo V(x) il potenziale raggiunto all'ascissa x che è pari a con
capacità del conduttore sferico. Integrando fra d ed R si ha
che per d>>R può approssimarsi con la formula ordinaria dell'energia del conduttore isolato quale esso è alla fine ovvero .
Si dissipa insomma in conclusione nell'intero processo complessivamente ?