sns 2011 n.4

[modesto]

Non voglio avere l'ultima parola proprio io. Però ci tengo a precisare:
1) è diretto come dice il testo, secondo l'asse positivo z
2) la "filosofia" della dimostrazione: si suppongono orbite circolari in tutte le possibili configurazioni del piano e si dimostra se sono o meno possibili
3)proprio per quell'orientamento di , una rotazione antioraria della massa carica produce una forza magnetica verso l'esterno della circonferenza: è impossibile che possa esistere un'orbita circolare avente centro in ordinata maggiore di 0 e contenuta in y>0 con questa rotazione perchè almeno nei punti in cui la forza elastica è tangente alla circonferenza non ci può essere forza centripeta
4) confermo allora che per quell'orbita con r> in rotazione oraria nel suo punto di intersezione con l'asse y, la forza magnetica e quella elastica sono dirette verso il basso e quindi la prima comprime la molla fino a r< affinchè la loro differenza possa costituire la forza centripeta che consente l'orbita circolare: quindi l'orbita circolare ipotizzata non era possibile, e così per le altre esaminate
5)aiutandosi con la conservazione dell'energia elastica (ovviamente la forza magnetica è a lavoro nullo) si può mostrare che sono impossibili anche le orbite circolari aventi centro sull'asse y>0
e che invadano pure il semipiano y<0
6) sono infine d'accordo che gli estensori probabilmente non si sono posti queste domande cui ho dato queste risposte che per il momento giudico ultimative non essendo in grado di seguire la via maestra che indichi tu.

[Pigkappa]

3)proprio per quell'orientamento di , una rotazione antioraria della massa carica produce una forza magnetica verso l'esterno della circonferenza

...Ho sbagliato io stupidamente per qualche motivo, il verso della forza è quello che dici tu.

è impossibile che possa esistere un'orbita circolare avente centro in ordinata maggiore di 0 e contenuta in y>0 con questa rotazione perchè almeno nei punti in cui la forza elastica è tangente alla circonferenza non ci può essere forza centripeta

Beh, ok, allora consideriamo l'orbita percorsa nell'altro verso, così che la forza magnetica abbia la direzione giusta. In questo caso una forza diretta verso il centro c'è.

4) confermo allora che per quell'orbita con r> in rotazione oraria nel suo punto di intersezione con l'asse y, la forza magnetica e quella elastica sono dirette verso il basso e quindi la prima comprime la molla fino a r< affinchè la loro differenza possa costituire la forza centripeta che consente l'orbita circolare: quindi l'orbita circolare ipotizzata non era possibile

Eh? Cosa vuol dire questo discorso? Il corpo ci passa solo per un istante in quel punto, e di certo non c'è una compressione istantanea quando passa di lì.

domande cui ho dato queste risposte che per il momento giudico ultimative

A me sembra che tu abbia fatto dei discorsi un po' confusi e non formalizzati. Al punto che non riesco a capire se sono giusti e non sei riuscito a formalizzarli, oppure se non funzionano proprio... E non bisogna aspettarsi che una commissione che deve correggere decine (o centinaia) di compiti si sforzi molto per capire soluzioni scritte così.

[modesto]

Non resisto alla tentazione di risponderti. Prendo atto che secondo te i miei discorsi sono "un pò confusi e non formalizzati". Ma io la penso diversamente.
Se si ipotizza l'esistenza di un'orbita circolare ed anche in un sol punto si dimostra che non esistono le condizioni per percorrerla, l'orbita decade. Se infatti le due forze agenti puntano verso il centro e verso il basso anzichè essere in quell'equilibrio dinamico che richiede l'orbita circolare ( essere opposte e avere una risultate diretta verso il centro pari alla forza centripeta competente a quella velocità tangenziale) qualora la massa arrivasse in quel punto pur con la giusta velocità, deraglierebbe dall'orbita: se fosse un satellite cadrebbe. Questo io penso.
Tu puoi non essere d'accordo: sostenere che ci sono invece le condizioni o che ci passa per un istante e non si "accorge" di queste forze incoerenti con il suo moto...Ma come vedi non si tratta di formalizzazione o confusione: le due forze hanno quel verso e non altri per e rotazione oraria.
Quanto alle commisioni, hai ragione e sono già terrorizzato dalla loro fretta: mi consola pensare che sarebbe per tutti così e che in questo caso chiedevano di "discutere le possibili orbite circolari" e quindi, forse, non si pretendeva tutta quest'analisi. Che comunque, ribadisco, continuerò perché è istruttivo batterci i denti, come dici sempre.

[Pigkappa]

Se si ipotizza l'esistenza di un'orbita circolare ed anche in un sol punto si dimostra che non esistono le condizioni per percorrerla, l'orbita decade.

Certamente è così.
Non hai capito la mia obiezione.

Se infatti le due forze agenti puntano verso il centro e verso il basso anzichè essere in quell'equilibrio dinamico che richiede l'orbita circolare ( essere opposte e avere una risultate diretta verso il centro pari alla forza centripeta competente a quella velocità tangenziale)

Come dici tu, l'orbita circolare richiede che la risultante sia pari alla forza centripeta.

Non richiede affatto che le forze siano opposte tra loro. Non so come ti sia venuta questa idea ("forze entrambe verso il centro" = "l'orbita non può essere circolare"); non avevo capito intendessi dire questa cosa.

Pensa ad un oggetto attaccato ad un filo che gira in un piano verticale di moto circolare. Nel punto più alto, sia la tensione che la forza di gravità lo portano verso il centro. Non sono opposte, eppure il moto continua ad essere circolare.

(nota: da domani al 27 sarò deportato in un posto triste ed in cui internet funziona pochissimo e solo con la rete per cellulari, perciò non stupirti se non risponderò oppure se darò risposte stringatissime per qualche giorno.)

[modesto]

Non richiede affatto che le forze siano opposte tra loro. Non so come ti sia venuta questa idea ("forze entrambe verso il centro" = "l'orbita non può essere circolare"); non avevo capito intendessi dire questa cosa.

ok. L'idea mi era venuta stante la natura di queste due forze: mi pareva che la forza magnetica dovesse comprimere una molla che già "tirava" verso il centro. Invece è solo una questione di : se essa, e la corrispondente forza centripeta, sono abbastanza elevate si può uguagliare la risultante delle due forze equiverse e realizzare l'orbita circolare. Non mi convinceva neppure il pendolo, di cui tu parli, perchè anche in quel caso c'è una "guida" circolare nel senso che la distanza dal centro, contrariamente al nostro caso, non può superare la lunghezza del filo: per cui poi basta una qualunque tale che perchè superi il punto critico alto. Non può estendere il filo, non c'è una relazione precisa fra ed . L'idea poi mi era stata avallata da te con cui evidentemente non mi ero spiegato perchè non avevi capito, come dici: infatti hai ritenuto buoni i casi con centro nell'origine dove l'avevo messa in pratica. In realtà, mentre viene confermato il caso compresa la determinazione del raggio minimo richiesto dal testo, il caso va integrato con la rotazione oraria e, nell'espressione di r, il termine può essere positivo o negativo.
Ma detto questo, il bello viene ora rispetto al problema che è all'origine di questa lunga ma, secondo me, straordinaria discussione: l'esistenza di orbite circolari poniamo con , centro sull'asse y e raggio. Il problema che mi sono posto è:
ammettiamo, se r è l'ordinata dell'intersezione più bassa della circonferenza con l'asse y e quindi quella più alta, che in quest'ultima ci sia proprio l' giusta per cui
, con le forze equiverse come dici tu. Stante il principio di conservazione dell'energia elastica (la forza magnetica è a lavoro nullo) questo valore di determina le velocità angolari e periferche in tutti i punti dell'orbita, in particolare dove la forza elastica è tangente all'orbita ma, soprattutto, nel punto più basso di ordinata r. Perchè queste velocità angolari, determinate dalla conservazione dell'energia, dovrebbero essere proprio quelle giuste per far continuare l'orbita circolare dopo il punto citato? Per esempio, se è quella nel punto più basso così determinata, si dovrà avere
.
Come si vede, ora non c'è un'equazione che vale per tutti i punti dell'orbita come nel caso del centro nell'origine: ce n'è una per ogni punto dell'orbita. I conti sono un pò complicati: per ora NON mi sembra compatibile con l'orbita circolare. Ma devo controllare e controllare in queste ore. Scusa per la lunghezza ma la questione mi appassiona. Se non avrai tempo per leggermi e/o rispondermi capirò...

[modesto]

Ho terminato l'analisi di cui alla mail del 28. A me risulta inequivocabilmente che NON sono possibili orbite circolari con centro diverso dall'origine (al solito, senza perdere in generalità, considero orbite con centro sul semiasse y>0 e raggio qualsiasi). La rotazione può essere solo oraria per le orbite il cui cerchio non contiene l'origine.
La ragione: i valori di richiesti dall'orbita circolare (dove deve essere maggiore o minore) entrano sempre in conflitto con quelli previsti dal principio di conservazione dell'energia, che sono quelli che contano. In particolare ciò è verificabile nei punti di intersezione dell'orbita con l'asse y che sono il più lontano e il più vicino all'origine dove è attaccata la forza elastica e/o nei punti di tangenza della forza elastica per quelle orbite il cui cerchio non contiene l'origine e/o nei punti dell'orbita che distino dall'origine.
Un primo esempio di quanto dico, quello della mail precedente: orbita tutta nel semipiano con raggio . Se r è l'ordinata dell'intersezione vicina all'origine e dell'intersezione più lontana, siano le rispettive velocità angolari. Dovranno essere, come visto,( forza magnetica ed elastica equiverse in e di verso opposto in r)
1)
2)
e per il principio di conservazione dell'energia con semplici calcoli
3)
Considerando le prime due come equazioni di secondo grado in si osserva immediatamente che la soluzione della prima è maggiore delle due soluzioni positive della seconda, ovvero mentre dalla 3), che è quella che conta, emerge il contrario.
Se fosse stata tutta compresa nella striscia 0<y< allora sarebbe stata per la circolarità ed il contrario per la conservazione dell'energia.
Credo proprio di aver considerato tutte le possibili orbite circolari con centro in y>0 e la conclusione è sempre la stessa: la circolarità cozza contro la conservazione dell'energia. Come altro esempio, un'orbita che si svolge tutta con e che invade il piano y<0 contenendo l'origine: sono possibili le due rotazioni, oraria e antioraria. In entrambi i casi è facile constatare che la circolarità pretende che l' nell'intersezione più lontana dall'origine sia maggiore dell' nell'intersezione più vicina mentre la conservazione dell'energia impone che dove l'energia elastica è maggiore(intersezione lontana) l' sia minore. Quest'ultima è la contraddizione più frequente che impedisce le orbite circolari con centro diverso dall'origine. Non so cosa aggiungere per ora. Se non chiederti, se avrai tempo per questo problema, di controllare le mie affermazioni ed eventualmente proporre contro-esempi che le contraddicano.

[Pigkappa]

Perdonami ma a fare i conti in tutti i possibili casi non mi ci metto.

La spiegazione che dai per escludere orbite che sono tutte in funziona, ma mi stupisce un po' che lo stesso procedimento vada bene per escludere anche quelle che invadono sia il semipiano con e . Però a questo punto diciamo pure che mi fido, abbiamo capito come impostare il problema ed è sufficientemente antipatico da non voler scrivere tutti i conti qua.

[modesto]

La tua fiducia, troppo motivata dalla condivisibile repulsione per i molteplici conti, mi induce a tentare una sintetica e generale sentenza nella speranza che possa essere condivisa e/o emendata. Anche perchè è impresentabile un argomento in cui si deve dire che si son fatti i conti in tutti i casi...fidatevi.

"Al contrario delle orbite circolari con centro nell'origine, le altre orbite circolari sono costituite da punti in cui le forze elastiche, agenti sulla massa carica quando vi transita, sono diverse. Il principio di conservazione dell'energia lega l'energia cinetica (e la velocità angolare) di questa massa solo al coefficiente k e al quadrato dell'espansione/compressione della molla.
Le orbite circolari di questo tipo non sono allora possibili perchè non possono rispettare il principio di conservazione dell'energia. Infatti la velocità angolare, nei singoli punti dell'orbita, è la soluzione di una equazione di secondo grado i cui coefficienti dipendono da grandezze estranee al principio come la carica elettrica, l'induzione , il raggio dell'orbita oltre che dalla proiezione della forza elastica sul raggio dell'orbita. Siccome poi le grandezze estranee al principio influenzano nello stesso modo tutti i valori della velocità angolare non è neppure possibile una compensazione numerica in tutti i punti che produca lo stesso risultato imposto dal principio."

[Pigkappa]

e al quadrato della distanza dall'origine.

In realtà il termine che c'è nell'energia direi che è , comunque non è importante.

Siccome poi le grandezze estranee al principio influenzano nello stesso modo tutti i valori della velocità angolare non è neppure possibile una compensazione numerica in tutti i punti che produca lo stesso risultato imposto dal principio."

Questo discorso non lo capisco. Il motivo per cui stavamo facendo tutti quei conti era proprio andare a vedere se, per caso, c'è una combinazione di , e gli altri coefficienti che rendesse possibili altre orbite.

È vero che da un certo punto di vista sembra molto improbabile che questo accada, ma bisogna fare il conto per escluderlo.

[modesto]

In realtà il termine che c'è nell'energia direi che è , comunque non è importante.

ok. Ho espresso male il concetto che tu scrivi correttamente.

Questo discorso non lo capisco. Il motivo per cui stavamo facendo tutti quei conti era proprio andare a vedere se, per caso, c'è una combinazione di , e gli altri coefficienti che rendesse possibili altre orbite.

Anche qui forse mi sono espresso male: intendevo dire - come nelle equaz. 1) e 2) del 30/12 riguardanti i due punti estremi rispetto all'origine di un'orbita circolare con centro sull'asse positivo y - che le grandezze estranee al p.c.e. ( "pesano" allo stesso modo sul valore di nei due punti e in genere pesano allo stesso modo per i valori(diversi) nei vari punti dell'orbita. Ma anche questo è poco importante.
Invece, le cose importanti secondo me sono due:
1) "tutti quei conti che abbiamo fatto" nei casi significativi di una situazione generale (la direzione y poteva essere qualsiasi) - con il centro diverso dall'origine e con l'orbita, contente o meno l'origine, che invadeva o meno in varie guise y<0 - hanno prodotto un dato ragionevolmente certo: queste orbite non sono possibili perchè confliggono con il principio di cons.energia elastica. (Perchè nella determinazione di ,nei vari punti della traiettoria, intervengono grandezze, per giunta prefissate, come quelle citate che con il principio non hanno nulla da fare). E ne siamo ragionevolmente certi non solo per deduzione teorica conseguente ma PROPRIO PERCHE' ABBIAMO FATTO TUTTI QUEI CONTI.
2) E' possibile sintetizzare ciò in una "sentenza" che SOSTITUISCA E GIUSTIFICHI tutti quei conti e ci eviti di dire: fidatevi o rifateli ?