Premessa Dopo aver quasi interamente scritto il post, ho notato come avesse già pensato @Pigkappa a risolvere tutto:
game-set-match. Io avevo pensato di fornire alcune direttive sui corretti metodi da seguire per una buona riuscita dello svolgimento del problema, ma @Pigkappa ha già riportato i vari procedimenti svolgendoli splendidamente. A questo punto, @Pigkappa, mi sento di chiederti scusa, ma non di cancellare questo post, nonostante molti risultati e concetti siano praticamente uguali a quelli da te avanzati. Potrebbe esserci, inoltre, un'interessante proposta di soluzione (quella contenuta nell'ultimo paragrafo) a cui potresti non aver pensato. Alla fine pubblicherò comunque, come da consueto, il mio procedimento completo ed esteso, corredandolo con tutte le informazioni, note, risoluzioni che possano venirmi in mente affinché possa essere - anche solo in minima parte - di beneficio al Forum. Grazie.
Higgs ha scritto: ↑16 nov 2023, 12:05
Si anch'io pensavo che la massa di contatto, che per un istante deve fermarsi all'inversione della sua velocità, diventasse sede dell'asse istantaneo di rotazione
Il suolo è liscio, dunque non ci sono forze orizzontali sul sistema composto dalle due masse. Di conseguenza, il centro di massa si muove soltanto lungo la verticale.
Higgs ha scritto: ↑18 nov 2023, 18:23
La massa che urta il suolo secondo me non può ricevere una reazione con una componente orizzontale perchè il suolo è liscio e il suo urto è ad esso perpendicolare.
Giusto. Non può esserci una reazione orizzontale esercitata sulla massa dal terreno.
Higgs ha scritto: ↑18 nov 2023, 18:23
Allora dovrebbe essere respinta lungo la verticale con velocità
. Questo vuol dire che l'altra massa sospesa deve muoversi perpendicolarmente all'asta deviando dalla caduta verticale effettuando una rotazione istantanea attorno all'altra e formando un angolo
con la verticale.
Questo non è corretto. Infatti, contemporaneamente alla reazione esercitata dal suolo, si verifica una reazione agente lungo l'asta, la quale esercita un impulso orizzontale uguale e contrario sulle due masse, dando loro velocità orizzontali uguali e opposte, e, allo stesso modo, fornisce un impulso verticale uguale e contrario alle due masse, il quale aumenta l'impulso verticale proveniente dal suolo. Tale confusione suggerisce, forse, che sarebbe più semplice lavorare in termini di leggi di conservazione piuttosto che preoccuparsi di tutte le forze agenti sul sistema.
Higgs ha scritto: ↑19 nov 2023, 12:42
Il testo chiede di determinare come si muove il sistema immediatamente dopo l'urto della massa di sinistra. Allora come ho detto la massa di destra assume una direzione perpendicolare a L con modulo
immutato con componente orizzontale
e componente verticale
mentre anche l'altra massa assume le stesse componenti a segno invertito. Complessivamente dopo l'urto la quantità di moto totale del sistema è quindi nulla. L'asta rigida ruota attorno al CM tendendo alla posizione orizzontale e per la conservazione dell'energia meccanica la massa di sinistra dovrebbe raggiungere la posizione h quando quella di destra urta il suolo.
Questo tentativo di soluzione sembra basato su supposizioni e intuizioni, le quali, pur costituendo un buon inizio, devono tuttavia essere supportate da equazioni basate su solidi principi, ovvero le leggi di conservazione: una descrizione qualitativa deve sempre essere supportata da un'analisi quantitativa, pena la fallacia dell'intero ragionamento. Nello specifico caso di tale approccio, il caso limite
restituisce una situazione fisica differente da quella qui presentata. Per
, idealmente, l'asta cadrà infatti verticalmente e rimbalzerà indietro fino al punto di partenza.
Higgs ha scritto: ↑20 nov 2023, 12:53
si conserva il momento angolare uguale a zero prima e dopo l'urto
Questa assunzione è imprecisa. Inizialmente il momento angolare è nullo e la velocità verso il basso prima dell'impatto vale
; successivamente, quando la massa inferiore colpisce il suolo e rimbalza, il pavimento imprime un impulso
verso l'alto: pertanto, dopo l'urto il momento angolare è stato modificato dall'impulso angolare. Il momento angolare si conserva attorno a un determinato asse se non agiscono momenti torcenti esterni all'asse, ma, anche in questo caso, l'impatto con il suolo potrebbe essere considerato alla stregua di un momento torcente esterno: pertanto, la maniera più ingegnosa per ovviare a un problema di tale sorta è quella di rendere possibile scrivere l'equazione di conservazione del momento angolare senza introdurre alcun impulso
, mediante la scelta di un asse passante per il punto
di impatto, in qualità di asse rispetto al quale
non compia alcun momento torcente.
Higgs ha scritto: ↑22 nov 2023, 12:54
2) Momento angolare. E' giusto che prima dell'urto le QDM di entrambe non hanno componenti orizzontali e che le QDM valgano
?
Sì, se il sistema massa-asta-massa viene rilasciato da fermo. La forza di gravità agisce verticalmente. Nessuna delle due masse possiede una componente orizzontale prima dell'urto perché
)
non v'è alcuna forza esterna orizzontale che agisca su alcuna delle due masse e
)
poiché le masse sono uguali, il momento torcente esterno prodotto dalla forza di gravità non causa una rotazione intorno al centro di massa che fornirebbe una componente orizzontale alle velocità delle singole masse nel caso in cui queste ultime fossero diseguali.
Higgs ha scritto: ↑22 nov 2023, 12:54
rispetto al punto-massa al suolo prima dell'urto c'é solo il momento del punto-massa di destra che vale
3) Dopo l'urto per effetto di L ci sarebbero allora due componenti orizzontali opposte delle QDM di cui bisogna tener conto nel momento? Ma il momento di quella di sinistra comunque sia deve essere nullo. L'unico momento allora è quello di destra la cui QDM ha cambiato direzione, non è più verticale. E' così?
Corretto, purché si rispetti la peculiare convenzione sui segni adottata. Infatti, rispetto al punto
del terreno in cui impatterà la prima massa puntiforme, quest'ultima non possiede momento angolare perché la sua distanza
dal punto
sarà nulla. In alternativa,
è possibile trattare l'asta e le due masse come un unico corpo rigido di massa 
: il momento posseduto dal sistema prima dell'urto sarà comunque uguale a quello citato.
Higgs ha scritto: ↑22 nov 2023, 12:54
3) Dopo l'urto per effetto di L ci sarebbero allora due componenti orizzontali opposte delle QDM di cui bisogna tener conto nel momento? Ma il momento di quella di sinistra comunque sia deve essere nullo. L'unico momento allora è quello di destra la cui QDM ha cambiato direzione, non è più verticale. E' così?
Corretto.
Higgs ha scritto: ↑24 nov 2023, 18:48
Risparmiandoti i conti, basandomi su questo sistema e combinando le quattro avrei trovato questi risultati a partire da
:
+ 2cos^2\theta})
+2cos^2\theta}\times \sqrt{[sen\theta(1-cos\theta)+2 cos^2\theta]^2-cos^2\theta})
Le tue espressioni di
sono sbagliate. Molto probabilmente (anzi, quasi sicuramente), ciò è dovuto non a errori algebrici occorsi all'interno dei calcoli intermedi (nonostante non siano stati riportati, in questo caso non v'è alcun bisogno di decretarne la possibile correttezza), bensì a un'errata assunzione effettuata preliminarmente riguardo una delle quattro equazioni di partenza. Infatti, dalla tua presentazione dell'equazione di conservazione dell'energia cinetica,
Higgs ha scritto: ↑24 nov 2023, 18:48
2)
e analoghe per la massa 2
sembra che, al fine di facilitare i calcoli, tu abbia sdoppiato l'iniziale equazione di conservazione dell'energia cinetica dell'
intero sistema, cioè
 v_0^2 = \frac{1}{2} m (v_{1x}^2 + v_{1y}^2 + v_{2x}^2, v_{2y}^2) \Rightarrow \ (v_{1x}^2 + v_{1y}^2 + v_{2x}^2, v_{2y}^2) = 2v_0^2)
,
in due micro-espressioni descriventi le leggi di conservazione dell'energia cinetica per ognuna delle due masse, individualmente, ovvero:
 \ \ \ \ \frac{1}{2} m (v_{1x}^2 + v_{1y}^2) = \frac{1}{2} m v_0^2 \Rightarrow \ v_{1x}^2 + v_{1y}^2= v_0^2)
 \ \ \ \ \frac{1}{2} m (v_{2x}^2 + v_{2y}^2) = \frac{1}{2} m v_0^2 \Rightarrow \ v_{2x}^2 + v_{2y}^2= v_0^2)
.
Sommando membro a membro le due equazioni appena scritte, si ottiene certamente l'equazione estesa inizialmente riportata, ma
non si garantisce la
conservazione dell'energia cinetica dell'intero sistema: le quattro variabili
non sono indipendenti.
Higgs ha scritto: ↑24 nov 2023, 18:48
Si osserva che con questi risultati quando
mentre
mi sembrerebbe giustamente
Le condizioni a posteriori avanzate per
, cioè per
, sono fisicamente errate, in quanto conseguenza dei tuoi risultati sbagliati. Se è vero che, quando l'asta è verticale, le velocità dei due corpi puntiformi possiedono solo componente verticale (dunque, corretti sono i risultati
), non vale - né per
, né in generale - la condizione
. Ci si aspetta, invece, che i due corpi possiedano
entrambi velocità aventi sola componente verticale
verso l'alto con modulo pari a quello della velocità
assunta da entrambe le masse (dunque, dal centro di massa) prima dell'urto. Le conclusioni di compendio da te avanzate sarebbero realmente valide solo quando l'asta è completamente orizzontale, cioè per
.
I risultati corretti sono:
}{1+\cos^2 \theta}, \ \ \ v_{1y} = v_0, \ \ \ v_{2x} = v_0 \dfrac{\sin (2\theta)}{1+\cos^2 \theta}, \ \ \ v_{2y} = v_0\dfrac{1-3 \cos^2 \theta}{1+\cos^2 \theta})
,
dove si è scelto il verso positivo verso l'alto. Fammi sapere se riesci ad ottenere lo stesso.
Esiste, tuttavia, un altro metodo, ben più rapido e conveniente, per risolvere il problema. L'intero sistema, assimilabile ad un corpo rigido di massa
, può essere descritto anche soltanto dalla velocità lineare
del centro di massa e dalla velocità angolare
intorno a quest'ultimo, valutabili tramite conservazione dell'energia cinetica dell'intero sistema e conservazione del momento angolare rispetto al punto
di contatto.
I risultati finali sono:
,
dove sono stati considerati positivi la direzione verso l'alto e il senso antiorario di rotazione.
Benché bastino tali due grandezze per descrivere il sistema, si può dimostrare l'equivalenza dei due metodi verificando la coincidenza tra le espressioni delle componenti
calcolate tramite il primo metodo (quello prevedente l'impiego delle quattro equazioni) e le equazioni delle stesse variabili espresse in funzione di
,
e
. Prova a verificarlo da te prima che pubblichi il mio procedimento.
In verità, esiste anche un'altra possibile soluzione che permetta di descrivere il sistema in esame. Infatti, è possibile esaminare la ricorsività delle sequenze di
rimbalzi. Un metodo che garantisca la sicurezza della ripetizione di una sequenza in modo finito consiste nella verifica che la discesa dopo il rimbalzo sia l'immagine speculare della salita: perché ciò avvenga, nel punto più alto tra il primo e il secondo rimbalzo l'asta deve essere orizzontale o verticale. La sequenza più facile da osservare è quella di 4 rimbalzi (cioè,
). Si ottiene
 \cos (\theta)}{(1+\cos^2 \theta)^2} = 8 \frac{h}{L}\frac{\sin^2 (\theta) \cos (\theta)}{(1+\cos^2 \theta)^2})
, dove
si riferisce al numero di mezzi giri completi che il sistema massa-asta-massa compie in aria tra il primo e il secondo rimbalzo, poi all'inverso tra il secondo e il terzo rimbalzo, poi ancora in verso opposto tra terzo e quarto rimbalzo.
Esistono molte altre sequenze finite, ma sono più complesse da analizzare.
trovato analiticamente è effettivamente molto interessante. Non riesco a pensare a un'immediata spiegazione intuitiva della precisa motivazione per cui la componente verticale della velocità assunta dalla prima particella dopo l'urto non dipenda dall'angolo